1. 题目  2. 解答 针对两棵树的根节点，有下列四种情况：  p 和 q 都为空，两棵树相同； p 不为空 q 为空，两棵树不相同； p 为空 q 不为空，两棵树不相同； p 和 q 都不为空，如果两个节点的值相同，而且递归判断左右子树也相同的话，两棵树相同，反之两棵树不同。  /** * Definition for a binary tree node. * struct TreeNode { * int val; * TreeNode *left; * TreeNode *right; * TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NUL...

1. 题目  2. 解答 2.1. 方法一 我们初始化根节点的范围为长整形数据的最小最大值      [   L   O   N   G   _   M   I   N   ，   L   O   N   G   _   M   A   X   ]    [LONG\_MIN，LONG\_MAX]   [LONG_MIN，LONG_MAX]，则其左子节点的取值范围为      [   L   O   N   G   _   M   I   N   ，   根   节   点   值   ]    [LONG\_MIN，根节点值]   [LONG_MIN，根节点值]，右子节点的取值范围为    ...

1. 投影 向量      b   =   (   2   ,   3   ,   4   )    b = (2, 3, 4)   b=(2,3,4) 在      z    z   z 轴上和在      x   y    xy   xy 平面上的投影是什么，哪个矩阵能产生到一条线上和到一个平面的投影？ 当      b    b   b 被投影到      z    z   z 轴上时，它的投影      p    p   p 就是      b    b   b 沿着那条线的部分。当      b    b   b 被投影到一个平面时，它的投影就是      b    b   b 在平...

1. 正交子空间 两个向量垂直，意味着       v   T    w   =   0    v^Tw=0   vTw=0。  两个子空间      V    \boldsymbol V   V 和      W    \boldsymbol W   W 是正交的，如果     V    \boldsymbol V   V 中的每个向量      v    v   v 都垂直于      W    \boldsymbol W   W 中的每个向量      w    w   w。  想象你处在一个房间里，那么地面是一个子空间      V    \boldsymbol V   V，两面墙的交...

1. 题目  2. 解答 以      1   ,   2   ,   ⋯    ,   n    1, 2, \cdots, n   1,2,⋯,n 构建二叉搜索树，其中，任意数字都可以作为根节点来构建二叉搜索树。当我们将某一个数字作为根节点后，其左边数据将构建为左子树，右边数据将构建为右子树。因此，这是一个递归问题。 假设序列为      [   b   e   g   i   n   ,   e   n   d   ]    [begin, end]   [begin,end]，若以第      i    i   i 个数据为根节点，其左边数据      [ ...

1. 题目  2. 解答 以      1   ,   2   ,   ⋯    ,   n    1, 2, \cdots, n   1,2,⋯,n 构建二叉搜索树，其中，任意数字都可以作为根节点来构建二叉搜索树。当我们将某一个数字作为根节点后，其左边数据将构建为左子树，右边数据将构建为右子树。因此，这是一个递归问题。 若以第      i    i   i 个数据为根节点，其左边数据有      i   −   1    i-1   i−1 个，左子树可能情况为 left_num，右边数据有      n   −   i    n-i   n−i 个，右子树可能...

1. 题目  2. 解答 一棵高度平衡的二叉搜索树意味着根节点的左右子树包含相同数量的节点，也就是根节点为有序数组的中值。 因此，我们将数组的中值作为根节点，然后再递归分别得到左半部分数据转化的左子树和右半部分数据转化的右子树即可。 递归终止的条件是数组为空，这时候返回 NULL。 /** * Definition for a binary tree node. * struct TreeNode { * int val; * TreeNode *left; * TreeNode *right; * TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NUL...

1. 题目  2. 解答 如果根节点为空，直接返回 0。如果根节点非空，递归得到其左右子树的深度，树的深度就为左右子树深度的最大值加 1。 /** * Definition for a binary tree node. * struct TreeNode { * int val; * TreeNode *left; * TreeNode *right; * TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {} * }; */ class Solution { public: int maxDepth(TreeNode* root) { if...

1. 题目  2. 解答 如果根节点为空，直接返回 NULL。如果根节点非空，从根节点开始循环查找，直到节点为空。  如果待查找的值大于当前节点值，节点指向右孩子； 如果待查找的值小于当前节点值，节点指向左孩子； 如果待查找的值等于当前节点值，返回当前节点。  若循环结束还没有找到，返回 NULL。 /** * Definition for a binary tree node. * struct TreeNode { * int val; * TreeNode *left; * TreeNode *right; * TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), ...

1. 四个基本子空间  行空间      C   (    A   T    )    C(A^T)   C(AT)，一个       R   n     R^n   Rn 的子空间，由所有行的线性组合构成，维数为      r    r   r 列空间      C   (   A   )    C(A)   C(A)，一个       R   m     R^m   Rm 的子空间，由所有列的线性组合构成，维数为      r    r   r 零空间      N   (   A   )    N(A)   N(A)，一个       R   n     R^n   Rn 的子空间，由所...

1. 线性相关性  矩阵      A    A   A 的列是线性不相关的当且仅当      A   x   =   0    Ax=\boldsymbol0   Ax=0 的唯一解是      x   =   0    x=\boldsymbol0   x=0。没有其它的线性组合能给出零向量。  在三维空间中，如果三个向量       v   1    ,    v   2    ,    v   3     v_1, v_2, v_3   v1​,v2​,v3​ 不在同一个平面中，那它们就是不相关的，只有      0    v   1    +   0    v   2    +   ...

1. 矩阵的秩      m    m   m 和      n    n   n 给出了矩阵的大小，但却不是线性方程组的真正大小。因为，一个      0   =   0    0=0   0=0 的方程实际上是不算的。如果      A    A   A 中有完全相等的两行，或者第三行是第一行和第二行的线性组合，那么消元过程中就会出现全零的行。线性方程组的真正大小由秩来确定。  矩阵的秩是主元的个数，称为      r    r   r。       A   =    [     <mstyle displaystyle="false" scriptlevel=&...

1. 题目  2. 解答 与 LeetCode 102 ——二叉树的层次遍历 类似，我们只需要将每一层的数据倒序输出即可。 定义一个存放树中数据的向量 data，一个存放树的每一层数据的向量 level_data 和一个存放每一层节点的队列 node_queue。 如果根节点非空，根节点进队，然后循环以下过程直至队列为空：    得到队列的大小，即为树中当前层的节点个数。队列元素循环出队，并将节点的值加入 level_data，如果节点有左右子节点，左右子节点入队     将 level_data 插入到 data 头部并清空 level_data    /** * Definition fo...

1. 题目  2. 解答 定义一个存放树中数据的向量 data，一个存放树的每一层数据的向量 level_data 和一个存放每一层节点的队列 node_queue。 如果根节点非空，根节点进队，然后循环以下过程直至队列为空：    得到队列的大小，即为树中当前层的节点个数。队列元素循环出队，并将节点的值加入 level_data，如果节点有左右子节点，左右子节点入队     将 level_data 加入 data 中并清空 level_data    /** * Definition for a binary tree node. * struct TreeNode { * int val...