题目链接 质数取石子游戏 题目描述 有一个石子堆，包含  个石子。Alice 和 Bob 轮流取石子，Alice 先手。每次可以取 1 个或任意质数个石子。取走最后一个石子的玩家获胜。双方都采取最优策略，判断谁会赢。 解题思路 这是一个经典的公平博弈问题 (Impartial Game)。这类问题的核心是划分“必胜态”和“必败态”。  必败态 (Losing Position, L-position): 在当前局面下，无论玩家如何操作，都会将一个“必胜态”留给对手。轮到自己时处于必败态，则必输。 必胜态 (Winning Position, W-position): 在当前局面下，玩家至少有一...

题目链接 浮木博弈 题目描述 Alice 和 Bob 进行一个博弈游戏。有  堆物品，第  堆有  个。双方轮流操作，Alice 先手。 每次操作，玩家必须从编号最小的非空堆中取走任意正整数个物品。 取走最后一个物品的玩家获胜。假设双方都采取最优策略，判断谁会获胜。 解题思路 这是一个公平组合游戏 (Impartial Game)，但由于规则的特殊限制，我们不能直接套用 SG 函数或 Nim 游戏的结论。我们需要从游戏规则本身出发，分析双方的最优策略。 游戏的核心在于，玩家的操作被严格限制在当前编号最小的非空堆上。这使得游戏进程是线性的，从第 1 堆依次进行到第  堆。 关键洞察 让我们分析当...

题目链接 绝对值博弈 题目描述 给定一个包含  个不同整数的集合 。Alice 和 Bob 轮流进行操作，Alice 先手。每次操作，玩家需选择集合  中两个不同的整数  和 。  若  的结果也在集合  中，则执行此次操作的玩家立即输掉游戏。 若  的结果不在集合  中，则将  添加到集合  中，轮到对方操作。  假设双方都采取最优策略，判断谁将获胜。 解题思路 这是一个典型的公平博弈问题。直接模拟整个游戏过程非常复杂，因此我们需要寻找问题的核心性质或不变量，来简化游戏模型。   寻找不变量 (Invariant)： 设  是当前集合  中所有数字的最大公约数 (GCD)。如果我们从集合中选...

题目链接 破壁 题目描述 Alice 和 Bob 进行一个回合制游戏。有  扇门，第  扇门的初始耐久度为 。 在 Alice 的回合，她选择一扇门，将其耐久度减少 。当一扇门的耐久度小于等于  时，门被破开。 在 Bob 的回合，他选择一扇未被破开的门，将其耐久度增加 。 Alice 的目标是最大化被破开的门的数量，而 Bob 的目标是最小化。在双方都采取最优策略的情况下，求最后被破开的门的数量。 预估难度  CodeForces: 1500 知识点: 博弈论、贪心 难度评估: 本题的核心在于分析双方在不同情况下的最优策略。当 Alice 的攻击力  大于 Bob 的修复能力  时，局面相对...

题目链接 因数博弈 题目描述 Alice 和 Bob 玩一个取石子游戏，初始有  颗石子。玩家轮流操作，Alice 先手。 操作规则如下：  设当前石子数为 。找出  的所有真因数  中满足  的因数集合 。 如果集合  为空，则当前玩家直接获胜。 否则，从  中任选一个数 ，将石子数量变为 。  双方都采取最优策略，判断谁将获胜。 解题思路 这是一个规则新颖的公平组合游戏。由于  的范围高达 ，我们无法使用动态规划表，必须直接分析得出规律。 首先，我们分析游戏的终止和获胜条件：当轮到某个玩家时，如果当前的石子数  的真因数集合 （不含1和x本身）为空，则该玩家获胜。一个数没有这类真因数，当且...

题目链接 我测你的马 题目描述 在一个  的棋盘上，Bob 和 Alice 轮流放置马。规则是新放置的马不能攻击到任何已经存在的马。当轮到某个玩家，而他无法放置新马时，该玩家输。Bob 先手，双方均采取最优策略，判断谁将获胜。 解题思路 这是一个经典的公平组合游戏。在这类游戏中，如果双方都采取最优策略，胜负在游戏开始时就已经确定。关键在于整个游戏能够进行的总步数是奇数还是偶数。  如果总步数是奇数，那么先手方下完最后一子后，后手方将无子可下，因此先手方必胜。 如果总步数是偶数，那么后手方下完最后一子后，先手方将无子可下，因此后手方必胜。  在本题中，“总步数”就是棋盘上最多可以放置的、互不攻击...

题目链接 铁道双子的大追捕 题目描述 在一个由  节车厢组成的火车上，旺仔哥哥（W）和橘望妹妹（M）正在进行一场追逐。我们需要判断 W 是否有办法始终不被 M 抓住。  M 的移动：M 的移动轨迹是固定的，在  到  号车厢之间来回匀速移动，每分钟移动一节车廂。 W 的移动：  列车行驶时（状态'0'）：W 可以移动到相邻车厢或留在原地。 列车停靠时（状态'1'）：W 可以移动到任意一节车廂。   抓捕规则：W 的行动总是在 M 之前完成。如果在任意时刻两人位于同一车厢，则 W 被抓住。  解题思路 本题看似复杂，需要考虑所有可能的移动方案，但实际上可以通过模拟一个聪明的 贪心策略 来解决。我...

题目链接 甜蜜的博弈 题目描述 Alice 和 Bob 玩一个取钻石的游戏。初始有  颗钻石，两人轮流取。当轮到某个玩家时，如果剩余  颗钻石，该玩家可以执行以下操作之一：   如果 ，可以移除  颗钻石。   如果  且  是  的倍数，可以移除  颗钻石。   如果  且  是  的倍数，可以移除  颗钻石。   当轮到某位玩家时，如果他无法进行任何操作，则该玩家输。Alice 先手，假设双方都采取最优策略，判断谁将获胜。 解题思路 这是一个典型的公平组合游戏，其核心是判断每个状态是必胜态还是必败态。   必败态 (P-position)：在该状态下，无论玩家如何操作，都会转移到对手的必胜...

题目链接 小红的暑假 题目描述 小红和她的三位朋友（编号为1, 2, 3）一共有  天暑假。她需要安排每天与其中一位朋友玩。最终的安排需要满足两个条件：  假期结束后，她与每位朋友都恰好玩了  天。 她不会连续两天和同一个朋友玩。  请求出满足条件的所有安排方案数，结果对  取模。 解题思路 这是一个典型的计数类动态规划问题。我们需要设计的状态要能够同时满足题目中的两个约束条件。 1. 状态定义 为了满足约束条件，我们的状态需要包含以下信息：  已经和每位朋友玩了多少天（用于满足条件1）。 前一天和哪位朋友玩的（用于满足条件2）。  因此，我们可以定义一个四维DP数组： 表示在已经过去的  天...

题目链接 收集金币 题目描述 在一个  的网格迷宫中，每个方格  都有一定数量的金币。小K从左上角  出发，每回合只能向右或向下移动一格。 迷宫中存在动态障碍：已知有  条信息，每条信息形如 ，表示方格  会在第  回合开始时永久变成墙。 小K的目标是规划一条路径，使得收集到的金币总数最多。一个方格中的金币只能被收集一次。 解题思路 这是一个带有时间限制的路径规划问题，是经典网格动态规划的变种。 1. 关键点：回合数与坐标的关系 小K从  出发，每回合移动一格。要想到达方格 ，必须经过  次向下移动和  次向右移动，总共移动  次。 这意味着，小K 到达 方格  的时刻（即完成的移动回合数）恰...

题目链接 [小红删数字]https://www.nowcoder.com/practice/a246d1e2b38e454985ac1400591d6175 题目描述 给定一个长度为  的整数数组 。需要进行恰好  次操作，直到数组中只剩下一个数字。 每次操作固定地针对当前数组的最后两个数 （ 在前， 在后）进行，并二选一执行：  将  删除，并将  的结果插入到数组末尾。 将  删除，并将  的结果插入到数组末尾。  请统计在所有可能的操作序列下（即每次操作的两种选择），最终结果为  的方案数各有多少。答案需要对  取模。 解题思路 1. 分析操作结构 操作的顺序是固定的，总是从数组的末尾开...

题目链接 我不是大富翁 题目描述 在一张有  个地块的环形大富翁地图上，地块从  到  顺时针编号。游戏开始时，玩家位于  号地块。 游戏共进行  个回合。在一个长度为  的行动力序列  中，第  回合的行动力为 。在每个回合，玩家可以自由选择移动方向（顺时针或逆时针），并移动  个地块。 问题是：是否存在一种移动方式，使得在  个回合结束后，玩家能恰好回到  号地块。 解题思路 本题的核心是判断经过一系列操作后，能否到达一个特定的状态。这是一个经典的可达性问题，非常适合使用动态规划来解决。 问题的关键在于，在第  回合，如果我们当前的位置是 ，行动力是 ，我们可以移动到  或者 。我们不需要...

题目链接 能量项链 题目描述 在一个环形的项链上，有  颗能量珠。每颗珠子  有一个头标记  和一个尾标记 。相邻的两颗珠子  和 （其中 ）可以合并，释放出  的能量，并形成一颗头标记为 、尾标记为  的新珠子。要求找出一种合并顺序，将所有珠子合并为一颗，使得释放的总能量最大。 输入数据为  个头标记，其中第  颗珠子的尾标记等于第  颗珠子的头标记（第  颗的尾标记等于第 1 颗的头标记）。 解题思路 本题是区间动态规划（Interval DP）在环形结构上的一个典型应用，与经典的矩阵链乘问题非常相似。 1. 问题转化：处理环形结构 环形结构给 DP 带来了困难，因为没有固定的起点和终点。...

题目描述 给定一个长度为  的 01 串 ，以及两个整数参数  和 。我们可以对任意一个长度大于等于2的子串进行“切割”操作。 一次合法的切割操作定义如下：  选择一个子串，将其分成两个非空的连续子串 （左）和 （右）。 记  中字符 '0' 的出现次数为 ， 中字符 '1' 的出现次数为 。 当且仅当  时，此次切割是合法的。  每次合法切割后产生的两个新子串，如果长度仍然大于等于2，可以被独立地继续进行切割。问题是，在最优策略下，最多可以执行多少次切割操作。 解题思路 这是一个典型的区间动态规划问题。问题的最优解包含其子问题的最优解（最优子结构），且子问题会被重复计算（重叠子问题），这完全...