ABC-411-E - E [max]

思路讲解

在竞技编程中，对于求解概率或期望值的问题，通常可以运用以下技巧：与其求某个最大值与某个特定值重合的概率，不如求该最大值小于或等于该特定值的概率。这个技巧也适用于这个问题：

说实话，这个我确实想到了，但是这个想法被我pass了。其实不应该忽视求什么比较容易的想法的，或者说想到了一些可以求的量，应该去想怎么样做才能求得最终的量。

那么注意到那，我们可以先求概率，接着再求期望，那么P(K)表示≤k最大值小于等于K的概率

alt

这个就是Pk-1和Pk的关系，那么我们现在的重点就是说我们如何快速计算这个，快速完成递推那？

那么这个办法就有很多，我选择是使用优先队列。

AC代码

https://atcoder.jp/contests/abc411/submissions/66998392

源代码

// Problem: E - E [max]
// Contest: AtCoder - UNIQUE VISION Programming Contest 2025 Summer (AtCoder Beginner Contest 411)
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc411/tasks/abc411_e
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define pb push_back
#define SZ(a) ((int) a.size())
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define debug(var) cerr << #var <<":"<<var<<"\n";
#define lson(var) (var<<1)
#define rson(var) ((var<<1)+1)

using namespace std;

typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;
typedef double DB;typedef long double LD;
typedef __int128 i128;typedef pair<DB,DB> pdd;typedef pair<ll,bool> plb;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr3;typedef array<ll,2> arr2;
constexpr ll MAXN=static_cast<ll>(1e6)+10,INF=static_cast<ll>(1e17)+9; // 1e18+9也是素数
constexpr ll mod=998244353;
constexpr double eps=1e-8;

ll N,M,Q,X,K,lT,A[MAXN][10];
/*

*/
inline void init(){
	
}
ll binpow(ll a,ll k,const ll &p){	// 迭代快速幂
	ll res=1;
	while(k>0){
		if((k&1)==1) res=a*res%p;
		a=a*a%p;
		k>>=1;
	}
	return res;
}
inline void solve(){
	cin>>N;
	init();
	vector<ll> li;
	li.pb(-INF);
	priority_queue<arr2> pq;
	FOR(i,1,N){
		FOR(j,1,6){
			cin>>A[i][j];
			li.pb(A[i][j]);
			pq.push({A[i][j],i});
		}
	}
	sort(all(li));
	li.resize(unique(all(li))-li.begin());
	ll lsz=SZ(li)-1;
	vector<arr2> dp(lsz+5,{0,0});		// dp[i]指的是max值大于i的概率（i是经过离散化的）
	dp[lsz][0]=1,dp[lsz][1]=1;
	vector<ll> cnt(N+5,6);
	vector<ll> org(N+5,0);
	ROF(_,lsz-1,1){
		ll val=li[_+1];ll fac1=1,fac2=1;
		vector<ll> wp;
		while(pq.empty()==false && pq.top()[0]==val){
			ll id=pq.top()[1];
			pq.pop();
			org[id]=max(cnt[id],org[id]);
			cnt[id]--;
			wp.pb(id);
		}
		sort(all(wp));wp.resize(unique(all(wp))-wp.begin());
		FOR(i,0,SZ(wp)-1){
			ll id=wp[i];	// 含有k的面<=k-1的面数
			fac1*=cnt[id];fac1%=mod;
			fac2*=org[id];fac2%=mod;
			org[id]=0;
		}
		// 分子
		dp[_][0]=dp[_+1][0]*fac1%mod;
		dp[_][1]=dp[_+1][1]*fac2%mod;	// 分母
#ifdef LOCAL
    debug(_);
    debug(dp[_][0]);
    debug(dp[_][1]);
    debug(fac1);debug(fac2);debug(val);
#endif
	}
	ll ans=0;
	dp[0][1]=1;	// 避免分母为0导致问题
	ROF(i,lsz,1){
		ll lans=0;
		ll fac1=dp[i][0]*dp[i-1][1]-dp[i-1][0]*dp[i][1];fac1%=mod;
		ll fac2=dp[i][1]*dp[i-1][1];fac2%=mod;
#ifdef LOCAL
	cerr<<"---------\n";
    debug(fac1);debug(fac2);
#endif
		fac2=binpow(fac2,mod-2,mod);
		lans=fac1*fac2%mod*li[i]%mod;	// 变为期望值
		ans+=lans;ans%=mod;
	}
	if(ans<0) ans+=mod;
	cout<<ans<<"\n";
	// cout<<10*binpow(3,mod-2,mod)%mod<<"\n";
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	// cin>>lT;
	// while(lT--){
		// solve();
	// }
	solve();
	return 0;
}
/*
AC
https://atcoder.jp/contests/abc411/submissions/66998392
*/

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