最大子矩阵（HDU-1559）

题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/HDU-1559
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1559
给你一个m×n的整数矩阵，在上面找一个x×y的子矩阵，使子矩阵中所有元素的和最大。
Input
输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每一组测试数据的第一行为四个正整数m,n,x,y（0<m,n<1000 AND 0<x<=m AND 0<y<=n），表示给定的矩形有m行n列。接下来这个矩阵，有m行，每行有n个不大于1000的正整数。
Output
对于每组数据，输出一个整数，表示子矩阵的最大和。
Sample Input
1
4 5 2 2
3 361 649 676 588
992 762 156 993 169
662 34 638 89 543
525 165 254 809 280
Sample Output
2474

题意：很简单
解题思路：1.暴力，但暴力也得有技巧，否则绝对超时；
2.dp

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1001][1001];
int main()
{
    int tt;scanf("%d",&tt);
    int n,m,x,y;
    while(tt--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&m,&n,&x,&y);
        memset(a,0,sizeof(a));//初始化
        for(int i=1;i<=m;i++)//从1 开始，避免i-1是负数；
            for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            int t;
            scanf("%d",&t);
            a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]+t-a[i-1][j-1];//边输入边存；
        }
        int ans=0;
        for(int i=x;i<=m;i++)
            for(int j=y;j<=n;j++)
            ans=max(ans,a[i][j]-a[i-x][j]-a[i][j-y]+a[i-x][j-y]);//比较，因为有可能出现一种特别大的数超过之前的最大子矩阵；
            printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

思路：动态规划

动态规划最重要的是找出状态转移方式，推出转移方程；

B我定义为：2*2矩阵里的所有值之和。A：是当前这个A位置的值；

首先在这题的矩阵中，我们可以从A为开始，判断A的转移方式。先明确我们这题目标是找出每个类似B位置的值。我们可以想A的值要么往右转移，要么往下转移，也就是说只有两个转移方向，那么我们便可以明确每个类似B位置都是由B位置上方和B位置左边转移来的，而A位置也是如此。那么我们就可以知道B的值怎么算了，是不是这样想就很简单了；

接下来我们推导转移方程dp公式；
dp[[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+t-dp[i-1][j-1];//t 为输入的值；
另一种写法：
dp[i][j]+=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]；//dp[i][j]为输入的值；

总结：此类题型
因为我们可能不一定遇到的都是矩阵i，j，找2*2的子矩阵，所以我们需要总结一下；i，j矩阵里找x，y，子矩阵是怎么算。
状态dp[i][j]代表长i宽j的矩阵的元素和。

（dp[i][j]+=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]）

假设要求找出x长y宽的最大子矩阵

在i>=x且j>=y的矩阵中找的话，（上面的题型为2*2，所以，x=2,y=2）
dp[i][j]就是包含a[i][j]元素的子矩阵的元素和，

则dp[i][j]-dp[i][j-y]-dp[i-x][j]+dp[i-x][j-y]就是

dp[i][j]中x长y宽的子矩阵的元素和（右下角元素为a[i][j]）

假设在a[5][4]矩阵中求dp[4][3]中长2宽2的子矩阵的元素和（仅仅求元素和，不是最大）
（我们只要求每次求出右下角的子矩阵即可，随着矩阵扩大，答案就会被推算出来）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
using namespace std;
int dp[1100][1100];
int MAX;
int main()
{
    int i,j,n,m,T,x,y;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
       scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&x,&y);
       MAX=0;
       memset(dp,0,sizeof(dp));
       for(i=1;i<=n;i++)
         for(j=1;j<=m;j++)
         {
              scanf("%d",&dp[i][j]);
              dp[i][j]+=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]; 
              if(i>=x&&j>=y) //
              {
                 MAX=max(MAX,dp[i][j]-dp[i][j-y]-dp[i-x][j]+dp[i-x][j-y]);
              }           
         }
       printf("%d\n",MAX);
    }
    return 0;
}