NC14731

NC14731

题意

求所有长度为 n n n的01串中满足如下条件的二元组个数:
设第 i i i位和第 j j j位分别位 a i a_i ai a j i < j a_j(i<j) aji<j,则 a i = 1 , a j = 0 ai=1,aj=0 ai=1,aj=0
答案对 1 e 9 + 7 1e9+7 1e9+7取模。

思路

题目让我们求逆序对,长度 n n n的01子串1在0的左边有多少种方案,由于题中1和0的地位是等价的,故正序对的个数和逆序对个数是一样的。
c n t = c n t ( + ) 2 cnt_{逆序对}=\frac{cnt_{(正序对+逆序对)}}{2} cnt=2cnt(+)
c n t ( + ) = i = 1 n 1 i ( n i ) C n i = n ( n 1 ) 2 n 2 cnt_{(正序对+逆序对)}=\sum_{i=1}^{n-1}i(n-i)C_n^i=n(n-1)2^{n-2} cnt(+)=i=1n1i(ni)Cni=n(n1)2n2
表示从 n n n个数里选 i i i个1剩下的全部为0,所构成的01子序列的个数。(这样的好处是不需要考虑正逆)
上面的数学公式递推需要用到: i = 0 n C n i = 2 n \sum_{i=0}^nC_n^i=2^n i=0nCni=2n

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const double eps = 1e-8;
const int NINF = 0xc0c0c0c0;
const int INF  = 0x3f3f3f3f;
const ll  mod  = 1e9 + 7;
const ll  maxn = 1e6 + 5;

ll n;

ll qpow(ll a,ll b,ll mod){
	ll ans=1;
	while(b>0){
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cin>>n;
	ll x=qpow(2,n-3,mod);
	ll y=(n%mod)*((n-1)%mod)%mod;
	if(n==2) cout<<1<<'\n';
	else cout<<x*y%mod<<'\n';
	return 0;
}
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