《算法竞赛进阶指南》 To the Max--题解

*题目描述 *
Given a two-dimensional array of positive and negative integers, a sub-rectangle is any contiguous sub-array of size 1*1 or greater located within the whole array. The sum of a rectangle is the sum of all the elements in that rectangle. In this problem the sub-rectangle with the largest sum is referred to as the maximal sub-rectangle.
As an example, the maximal sub-rectangle of the array:

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
is in the lower left corner:

9 2
-4 1
-1 8
and has a sum of 15.

输入描述:
The input consists of an NN array of integers. The input begins with a single positive integer N on a line by itself, indicating the size of the square two-dimensional array. This is followed by
integers separated by whitespace (spaces and newlines). These are the
integers of the array, presented in row-major order. That is, all numbers in the first row, left to right, then all numbers in the second row, left to right, etc. N may be as large as 100. The numbers in the array will be in the range [-127,127].
*输出描述**:
Output the sum of the maximal sub-rectangle.

大概的翻译：
题目描述：
给定一个包含整数的二维矩阵，子矩形是位于整个阵列内的任何大小为1 * 1或更大的连续子阵列。

矩形的总和是该矩形中所有元素的总和。

在这个问题中，具有最大和的子矩形被称为最大子矩形。

例如，下列数组：

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其最大子矩形为：

9 2
-4 1
-1 8
它拥有最大和15。

输入格式
输入中将包含一个N*N的整数数组。

第一行只输入一个整数N，表示方形二维数组的大小。

从第二行开始，输入由空格和换行符隔开的N2个整数，它们即为二维数组中的N2个元素，输入顺序从二维数组的第一行开始向下逐行输入，同一行数据从左向右逐个输入。

数组中的数字会保持在[-127,127]的范围内。

输出格式
输出一个整数，代表最大子矩形的总和。

1≤N≤100。

思路：
求二维前缀和的问题（大概），先从一维开始讲：
假设给这些数：
-2 5 -3 6 7 -10
先算一个以7结尾的子序列。再看7前面的6，算以6结尾的子序列，若以6结尾的子序列的总和为正数，那么以7结尾的子序列总和就会大于以6结尾的子序列，即f(6)+7=f(7)。若以6结尾的子序列的总和是负数，那么以7结尾的子序列不如只要7这个数。
算二维的时候也是一样的。

完整C++版AC代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <limits.h>

using namespace std;

const int N = 101;
int g[N][N];
int n;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> g[i][j];
            g[i][j] += g[i - 1][j];
        }
    }
    int res = INT_MIN;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            int last = 0;
            for (int k = 1; k <= n; k++) {
                last = max(last, 0) + g[j][k] - g[i - 1][k];
                res = max(last, res);
            }
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}