- 正确答案：使用二分查找法或牛顿迭代法均可在有限步内求得整数x的平方根，精度达到0.01。例如对x=10，结果约为3.16（满足|result² − 10| < 0.01×(2×3.16+0.01) ≈ 0.063，实际更严格可用|result − √x| < 0.01）。推荐牛顿迭代法，收敛快、实现简洁、仅需加减乘除；二分法逻辑直观、无发散风险、适合整数/浮点统一处理。 - 解答思路：首先明确问题本质——求√x的近似值，误差限为0.01（即绝对误差 |ans − √x| < 0.01）。注意不是要求ans²与x的差小于0.01（那是函数值误差，对应约2√x·|ans−√x|，会放大），题目中“精度0.01”在数值计算语境下默认指结果值的绝对误差。然后选择合适算法：（1）二分法：因f(y)=y²在y≥0单调增，且√x ∈ [0, max(1,x)]，可在区间[left, right]上反复缩小区间，直到right−left < 0.01，返回mid=(left+right)/2。保证最终结果绝对误差≤0.005 < 0.01。（2）牛顿迭代法：解方程f(y)=y²−x=0，迭代公式为 y_{k+1} = y_k − f(y_k)/f'(y_k) = (y_k + x/y_k)/2。从初值y₀=max(1,x)开始，迭代至|y_{k+1} − y_k| < 1e−3（因牛顿法平方收敛，该条件可充分保证最终误差<0.01；也可直接检查|y_k² − x| < 0.01或|y_k − y_{k−1}| < 0.01×1e−1作为保守终止条件）。 - 深度知识讲解：本题考察数值分析基础、算法收敛性与误差控制能力，涉及多个底层知识点：（1）**误差类型辨析**：绝对误差（|approx − true|） vs 相对误差（|approx−true|/|true|） vs 函数残差（|f(approx)|）。本题“精度0.01”属绝对误差要求，直接影响区间长度或迭代停止阈值设定。若误用|y²−x|<0.01，则对大x（如x=10000）会导致y只需满足|y−100|<5e−5，远超需求；而对小x（如x=0.01）则可能过严。必须理解误差传递：由y²=x得 dy = dx/(2y)，故|dy| ≈ |dx|/(2y)，说明相同函数残差在y小时对应更大y误差。（2）**二分法原理与边界处理**：基于介值定理和单调性，每次将搜索区间缩小一半，时间复杂度O(log((right−left)/ε))，与x大小呈对数关系。关键细节：初始右边界不能简单取x（x<1时√x > x，如x=0.25，√x=0.5>0.25），应设为max(1.0, x)；左边界为0.0；循环条件为right − left > ε（ε=0.01），而非|mid²−x|<0.01，因后者不保证mid接近√x（如x=0时mid=0.005，mid²=2.5e−5<0.01但|mid−0|=0.005仍满足精度，但逻辑不通用）。（3）**牛顿法收敛性与稳定性**：局部二阶收敛，但初值不当可能发散（如x>0时y₀=0导致除零；或y₀过小使y₁为负，后续迭代震荡）。实践中取y₀ = x>1 ? x : 1.0 可保证yₖ>0且单调递减趋近√x。其迭代式(y + x/y)/2本质是算术平均-调和平均不等式（AM ≥ GM ≥ HM）的应用：因y和x/y的几何平均为√x，算术平均必≥√x，且当y≠√x时严格大于，故序列{yₖ}单调递减有下界√x，必收敛；又由牛顿法理论，收敛速度为二阶，即误差平方衰减。（4）**浮点精度陷阱**：实际编程中需避免while (abs(y*y - x) > 0.01) —— 当x很大（如1e12）时，y≈1e6，y*y的浮点相对误差约1e−16，绝对误差达1e−4，可能永远无法满足0.01阈值；应优先用自变量差|y_{k+1}−y_k|<δ控制，δ可取ε/2（因最终误差≤|y_{k+1}−y_k|）。（5）**整数输入的特殊处理**：题目给定“整数”，但未限定非负。需首先判断x<0时无实根，返回NaN或抛异常；x=0直接返回0.0；x>0进入计算。 - 伪代码（二分法，稳健、易懂、无溢出风险）： ``` function sqrt_approx(x): if x < 0: return NaN if x == 0: return 0.0 left = 0.0 right = max(1.0, x) // 覆盖x<1情况，如x=0.25 → right=1.0 epsilon = 0.01 while right - left > epsilon: mid = (left + right) / 2.0 sq = mid * mid if sq < x: left = mid else: right = mid return (left + right) / 2.0 ``` - 伪代码（牛顿迭代法，高效、工业级常用）： ``` function sqrt_newton(x): if x < 0: return NaN if x == 0: return 0.0 y = max(1.0, x) // 初值 epsilon = 0.01 // 使用自变量差控制，更稳定 while true: y_next = (y + x / y) / 2.0 if abs(y_next - y) < epsilon * 0.1: // 保守阈值，确保最终误差

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