题解|#算概率#

算概率

这是一个经典的概率动态规划（DP）问题。我们可以将其看作是计算二项分布的变体（因为每道题的概率 不同，这实际上是泊松二项分布）。

核心思路

我们需要计算做对 到 道题的概率。 假设 表示当前已经考虑过的题目中，恰好做对 题的概率。

当我们引入第 道题（做对概率为 ，做错概率为 ）时，对于每一个可能的做对数量 ，有两种情况可以达到状态 ：

1. 前 题中已经做对了 题，并且第 题做错了。
   • 概率贡献：
2. 前 题中只做对了 题，并且第 题做对了。
   • 概率贡献：

状态转移方程

所有的运算都需要在模 下进行。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

constexpr static ll MOD = 1e9 + 7;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<ll> p(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> p[i];
    }

    vector<ll> dp(n + 1, 0);
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ll not_p = (MOD + 1 - p[i - 1]) % MOD;
        for (int j = i; j >= 0; j--) {
            dp[j] = ((j > 0 ? dp[j - 1] : 0) * p[i - 1] + dp[j] * not_p) % MOD;
        }
    }
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        cout << dp[i];
        cout << (i == n ? "\n" : " ");
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T = 1;

    while (T--) {
        solve();
    }

    return 0;
}