算法面试高频知识点：常用一阶微分梯度算子总结

梯度算子

想要得到一张图像的梯度，要在图像的每个像素点处计算偏导数。因此一张图像在位置处的和方向上的梯度大小和分别计算为：

上述两个公式对所有的和的计算值可用下面的一维模版对的滤波得到。

用于计算梯度偏导数的滤波器模版，通常称之为梯度算子、边缘算子和边缘检测子等。

经典一阶梯度算子

Roberts算子

Roberts算子又称为交叉微分算法，它是基于交叉差分的梯度算法，通过局部差分计算检测边缘线条。常用来处理具有陡峭的低噪声图像，当图像边缘接近于正45度或负45度时，该算法处理效果更理想。其缺点是对边缘的定位不太准确，提取的边缘线条较粗。

Roberts算子的模板分为水平方向和垂直方向，如下式所示，从其模板可以看出，Roberts算子能较好的增强正负45度的图像边缘。

例如，下面给出Roberts算子的模板，在像素点处和方向上的梯度大小和分别计算为：

下图是Roberts算子的运行结果：

Prewitt算子

Prewitt算子是一种图像边缘检测的微分算子，其原理是利用特定区域内像素灰度值产生的差分实现边缘检测。由于Prewitt算子采用卷积模板对区域内的像素值进行计算，而Robert算子的模板为，故Prewitt算子的边缘检测结果在水平方向和垂直方向均比Robert算子更加明显。Prewitt算子适合用来识别噪声较多、灰度渐变的图像，其计算公式如下所示：

例如，下面给出Prewitt算子的模板，在像素点处和方向上的梯度大小和分别计算为：

Prewitt算子运行结果如下：

Sobel算子

Sobel算子是一种用于边缘检测的离散微分算子，它结合了高斯平滑和微分求导。该算子用于计算图像明暗程度近似值，根据图像边缘旁边明暗程度把该区域内超过某个数的特定点记为边缘。Sobel算子在Prewitt算子的基础上增加了权重的概念，认为相邻点的距离远近对当前像素点的影响是不同的，距离越近的像素点对应当前像素的影响越大，从而实现图像锐化并突出边缘轮廓。

Sobel算子根据像素点上下、左右邻点灰度加权差，在边缘处达到极值这一现象检测边缘。对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信息。因为Sobel算子结合了高斯平滑和微分求导（分化），因此结果会具有更多的抗噪性，当对精度要求不是很高时，Sobel算子是一种较为常用的边缘检测方法。

Sobel算子的边缘定位更准确，常用于噪声较多、灰度渐变的图像。其算法模板如下面的公式所示，其中表示水平方向，表示垂直方向。

例如，下面给出Sobel算子的模板，在像素点处和方向上的梯度大小和 分别计算为：

sobel算子的效果如下：

各类算子的优缺点

Roberts算子

Roberts算子利用局部差分算子寻找边缘，边缘定位精度较高，但容易丢失一部分边缘，不具备抑制噪声的能力。该算子对具有陡峭边缘且含噪声少的图像效果较好，尤其是边缘正负45度较多的图像，但定位准确率较差。

Sobel算子

Sobel算子考虑了综合因素，对噪声较多的图像处理效果更好，Sobel 算子边缘定位效果不错，但检测出的边缘容易出现多像素宽度。

Prewitt算子

Prewitt算子对灰度渐变的图像边缘提取效果较好，而没有考虑相邻点的距离远近对当前像素点的影响，与Sobel 算子类似，不同的是在平滑部分的权重大小有些差异。