【LeetCode】110. 平衡二叉树 (同：剑指 Offer 55 - II. 平衡二叉树)

相似题目：
【LeetCode】104. 二叉树的最大深度【简单】.

1. 题目描述

给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。

本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。

示例 1:

给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7
返回 true 。

示例 2:

给定二叉树 [1,2,2,3,3,null,null,4,4]

       1
      / \
     2   2
    / \
   3   3
  / \
 4   4
返回 false 。

2. 解题思路 & 代码

2.1 暴力法（自顶向下递归）

此方法容易想到，但会产生大量重复计算，时间复杂度较高。

思路是构造一个获取当前节点最大深度的方法 $depth(root)$ ，通过比较此子树的左右子树的最大高度差$abs(depth(root.left)-depth(root.right))$，来判断此子树是否是二叉平衡树。若树的所有子树都平衡时，此树才平衡。

算法流程：
isBalanced(root) ：判断树 root 是否平衡

1. 特例处理： 若树根节点 root 为空，则直接返回 true ；
2. 返回值： 所有子树都需要满足平衡树性质，因此以下三者使用与逻辑 $and$ 连接；
   1). $abs(self.depth(root.left)-self.depth(root.right))<=1$ ：判断 当前子树 是否是平衡树；
   2). self.isBalanced(root.left) ： 先序遍历递归，判断 当前子树的左子树 是否是平衡树；
   2). self.isBalanced(root.right) ： 先序遍历递归，判断 当前子树的右子树 是否是平衡树；

depth(root) ： 计算树 root 的最大高度

1. 终止条件： 当 root 为空，即越过叶子节点，则返回高度 0 ；
2. 返回值： 返回左 / 右子树的最大高度加 1 。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.left = None
# self.right = None

class Solution:
    def depth(self, root):
        if not root:
            return 0
        left_height = self.depth(root.left)
        right_height = self.depth(root.right)
        return max(left_height, right_height) + 1
    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        if not root:
            return True
        return abs(self.depth(root.left) - self.depth(root.right)) <= 1 and \
            self.isBalanced(root.left) and self.isBalanced(root.right)

复杂度分析：

1. 时间复杂度 $O(NlogN)$： 最差情况下， isBalanced(root) 遍历树所有节点，占用 $O(N)$ ；判断每个节点的最大高度 $depth(root)$ 需要遍历 各子树的所有节点 ，子树的节点数的复杂度为 $O(logN)$ 。
2. 空间复杂度 $O(N)$： 最差情况下（树退化为链表时），系统递归需要使用 $O(N)$ 的栈空间。

2.2 自底向上

思路是对二叉树做 后序遍历，从底至顶返回子树最大高度，若判定某子树不是平衡树则 “剪枝” ，直接向上返回。

算法流程：
recur(root):
递归返回值：

1. 当节点root 左 / 右子树的高度差 $<2$ ：则返回以节点root为根节点的子树的最大高度，即节点 root 的左右子树中最大高度加 1， $（max(left,right)+1）$；
2. 当节点root 左 / 右子树的高度差 $\ge 2$ ：则返回 $-1$ ，代表 此子树不是平衡树 。
   递归终止条件：
3. 当越过叶子节点时，返回高度 0 ；
4. 当左（右）子树高度 $left==-1$ 时，代表此子树的 左（右）子树 不是平衡树，因此直接返回 $-1$ ；

isBalanced(root) ：

返回值： 若 recur(root) != 1 ，则说明此树平衡，返回 truetrue ； 否则返回 falsefalse 。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.left = None
# self.right = None

class Solution:
    def recur(self, root):
        if not root:
            return 0
        left = self.recur(root.left)
        right = self.recur(root.right)
        if left == -1: return -1   # 判断左子树是否平衡
        if right == -1: return -1  # 判断右子树是否平衡
        if abs(left - right) < 2:  # 到这里说明左右子树都平衡，那么就判断总的是否平衡
            return max(left, right) + 1
        else:
            return -1
    
    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        return self.recur(root) != -1

复杂度分析：

1. 时间复杂度 $O(N)$： N 为树的节点数；最差情况下，需要递归遍历树的所有节点。
2. 空间复杂度 $O(N)$： 最差情况下（树退化为链表时），系统递归需要使用 $O(N)$的栈空间。

参考：

1. LeetCode 题解