<span>斐波那契数列简单性质</span>

计数性质

• \(F_i=F_{i-1}+F_{i-2}\)

• \(\sum^{n}_{i=1}F_i=F_{n+2}-F_2\)

  证明：

  • 当\(n=1\)时，\(F_3-F_2=F_1\)显然成立。

  • 当\(n=2\)时，\(F_4-F_2=F_3+F_2-F_2=F_1+F_2\),成立。

  • 当\(n=k-1\)时，由公式得：

  • \[\sum^{k-1}_{i=1}F_i=F_{k+1}-F_2 \]

  • 同加\(F_k\):

  • \[\sum^{k}_{i=1}F_i=F_{k+1}-F_2+F_k=F_{k+2}-F_2 \]

  证毕。　　
  事实上，这个规律对广义斐波那契数列同样成立。

• 对于一个广义斐波那契数列\(f\)，有：

  \[f_n=f_1\times F_{n-2}+f_2\times F_{n-1} \]

  证明：

  • 当\(n=1,n=2\)时显然成立。
  • 当\(n=k-1\)时，由公式得：
  • \[f_{k-1}=f_1\times F_{k-3}+f_2\times F_{k-2} \]
  • \[f_{k-2}=f_1\times F_{k-4}+f_2\times F_{k-3} \]
  • \[f_{k}=f_{k-1}+f_{k-2}=f_1\times F_{k-3}+f_2\times F_{k-2}+f_1\times F_{k-4}+f_2\times F_{k-3}\\=f_1\times (F_{k-3}+F_{k-4})+f_2\times (F_{k-2}+F_{k-3})=f_1\times F_{k-2}+f_2\times F_{k-1} \]

  证毕。

• \(\sum_{i=1}^n F_i^2=F_n\times F_{n+1}\)
  证明：

  • \[F_n\times F_{n+1}=F_n\times F_n+F_n\times F_{n-1} \]
  • 左右抵消可得：
  • \[\sum_{i=1}^{n-1} F_i^2=F_{n-1}\times F_{n} \]
  • 化归可得：
  • \[F_1=F_1\times F_2 \]

• 即当\(F_2=1\)时上式成立

• \(F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}\)
  证明：

  • \[F_{2n}=F_{2n-1}+F_{2n-2} \]
  • 左右抵消可知：
  • \[F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-3}=F_{2n-2} \]
  • 化归可得：
  • \[F_1=F_2 \]
  • 即当\(F_1=F_2\)时上式成立

• \(F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-F_1\)
  证明：

  • 同上。
  • 即当\(F_2=F_3-F_1\)时上式成立。

• \(F_n=F_m\times F_{n-m+1}+F_{m-1}\times F_{n-m}(n>=m)\)
  证明找规律：

  • \[F_n=F_{n-1}+F_{n-2}=F_{n-2}+F_{n-3}+F_{n-3}+F_{n-4}\\=3F_{n-3}+2F_{n-4}=F_4\times F_{n-3}+F_3\times F_{n-4} \]

数论性质

• \(gcd(F_n,F_{n-1})=1\)
  证明：
  • 设\(a=gcd(F_n,F_{n-1})\neq1\),有： \(a\mid F_n,a|F_{n-1}\)。所以有\(a\mid F_{n-2}\)，以此类推则\(a|1\)，所以假设不成立。
• \(gcd(F_n,F_m)=F_{gcd(n,m)}\)
  证明：
  • \[gcd(F_{n},F_{m})=gcd(F_{n-m+1}\times F_{m}+F_{n-m}\times F_{m-1},F_m\\=gcd(F_{n-m}\times F_{m-1},F_m)=gcd(F_{n-m},F_{m}) \]
  • 由辗转相除可知：
  • \[gcd(F_n,F_m)=F_{gcd(n,m)} \]
• \(n\mid m \Leftrightarrow F_n|F_m\)
  证明：
  • 当\(n\mid m\),\(gcd(F_n,F_m)=F_{gcd(n,m)}=F_n,F_n\mid F_m\)
  • 当\(F_n\mid F_m\),\(gcd(F_n,F_m)=F_{gcd(n,m)}=F_n\),\(gcd(n,m)=n,n\mid m\)