题解|《信息学奥赛一本通》 越狱

题目描述
监狱有连续编号为1到n的n个房间，每个房间关押一个犯人。有m种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。求有多少种状态可能发生越狱。

输入描述:
输入两个整数m和n。

输出描述:
可能越狱的状态数，对100003取余。

思路：
根据推导，得出了不能出狱的情况。将所有情况减去不能出狱的情况就好了：
m的n次幂-m*（m-1）的（n-1）次幂。
这道题暴力很难出奇迹啊。
所以只能用快速幂过了。

什么是快速幂：
快速幂是一种简化运算底数的n次幂的算法，理论上其时间复杂度为 O(log₂N)，而一般的朴素算法则需要O(N)的时间复杂度。简单来说快速幂其实就是抽取了指数中的2的n次幂，将其转换为时间复杂度为O(1)的二进制移位运算，所以相应地，时间复杂度降低为O(log₂N)。

快速幂原理：
以a^13为例，
先把指数13化为二进制就是1101，把二进制数字1101直观地表现为十进制则是如下的等式：
13 = 1 * (2^3) + 1 * (2^2) + 0 * (2^ 1) + 1 * (2^0)
这样一来a^13可以如下算出：
a^13 = a ^ (2^3) * a ^ (2^2) * a ^ (2^0)

完整C++版AC代码：

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll mod = 100003;

ll ksm(ll a,ll b) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans = ans * a % mod;
        }
        b = b >> 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}

int main() {
    ll n, m;
    cin >> m >> n;
    m = m % mod;
    ll ans = ((ksm(m, n) - m * ksm(m - 1, n - 1)) % mod + mod) % mod;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}