DP[dynamic programming]问题汇总分析解答（一）

DP的问题也是绕不开啊，基本思想从0-1背包而来，已经进行过总结了。其他还有好多种的变形，一种种来归纳吧

（一）两个序列的DP问题（给定两个string）

这类的题目总结后以下述几步解决即可。

1.在两个序列的情况下，往往是用二维DP

vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,0);

2.然后进行初始化，也即是一个取空串时另一个进行遍历的初始值

3.往往需要根据s[i-1]和t[j-1]的相等于否进行两个分支的处理，此时dp[i][j]表示s串中前i个字符与t串中前j个字符的结果情况

下面看几道典型的题即可

1.绕不开的，肯定是经典的 leetcode No.72 Edit Distance

为什么说经典呢，三种不同的operation操作，对应三种不同的dp状态，这是首先一点需要清楚的；另一点，初始状态的分析，空串与非空串的对应关系。综上所述，严格遵顼我前面说到的分析处理步骤。

对于提到的word1[i-1]==word2[j-1]状态，没什么好说的，直接dp[i][j]=dp[i-1][j-1]。来说一下不等时候三种操作吧

1.replace没什么说的，当前位置替换，那么直接上一状态+1即可，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

2.delete，那么说明对于word1的前i-1位置已经能够和word2的前j位置匹配了，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]+1

3.insert与2中相同可得，dp[i][j]=dp[i][j-1]+1

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m=word1.length(),n=word2.length();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,0));
        //initialize the dp vector
        for(int i=0;i<=m;++i)
            dp[i][0]=i; //any string to null is the length of the string
        for(int j=0;j<=n;++j)
            dp[0][j]=j; //same to the statement above, the length of the target string
        for(int i=1;i<=m;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j){
                if(word1[i-1]==word2[j-1])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];  //we don't need any operation
                else //operations below:delete;insert;replace
                    dp[i][j]=min(min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1),dp[i-1][j-1]+1);
            }
        return dp[m][n];
    }
};

 2.同样，leetcode 115. Distinct Subsequences

完全相同的操作，dp情况分析：

首先不管当前s[i-1]和t[j-1]是否相等，dp[i][j]=dp[i-1][j]是毫无疑问的（也就是保留s的前一个位置与当前的对应情况），那么如果再加上s[i-1]==t[j-1]呢？再累加上dp[i-1][j-1]（因为i-1与j-1对应了，那么当前位置两者进行对应是肯定成立的）

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        if(s.length()<t.length())
            return 0;
        int m=s.length(),n=t.length();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,0));
        //initialize the dp vector
        for(int j=0;j<=n;++j)
            dp[0][j]=0; //null to string is 0
        for(int i=0;i<=m;++i)
            dp[i][0]=1; //string to null is 1
        for(int i=1;i<=m;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]; // this status always be true
                if(s[i-1]==t[j-1])
                    dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];
            }
        return dp[m][n];
    }
};

3.刚才在回顾的时候做的一道 leetcode712. Minimum ASCII Delete Sum for Two Strings

都一样，典型的两个序列DP问题

假设dp[i][j]为s1中前i个组成的字串与s2中前j个组成的字串的删除关系。那么我们根据当前i-1位置和j-1位置的对应元素关系来进行分析：

1.如果s1[i-1]==s2[j-1]，那么无需进行删除

2.如果s1[i-1]!=s2[j-1]，那么需要进行删除，取开销最小的情况

public:
    int minimumDeleteSum(string s1, string s2) {
        int len1=s1.length(),len2=s2.length();
        vector<vector<int>> dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));
        //initialize the dp vector
        for(int i=1;i<=len1;++i)
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+s1[i-1];
        for(int j=1;j<=len2;++j)
            dp[0][j]=dp[0][j-1]+s2[j-1];
        for(int i=1;i<=len1;++i)
            for(int j=1;j<=len2;++j){
                if(s1[i-1]==s2[j-1])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                else
                    dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+s1[i-1],dp[i][j-1]+s2[j-1]);
            }
        return dp[len1][len2];
    }
};

其他类型的DP到时候总结吧，未完待续