以下哪个距离修正了欧式距离中各个维度尺度不一致且相关的问题（

1. 欧式距离的问题

欧式距离是最常用的距离度量方法之一，公式如下：

然而，欧式距离存在以下问题：

• 尺度不一致：如果不同维度的特征具有不同的量纲或取值范围（例如一个维度是身高，另一个维度是体重），欧式距离会被量纲较大的维度主导。
• 相关性忽略：欧式距离假设各个维度之间是独立的，但实际上许多数据集中维度之间可能存在相关性。这种相关性会导致欧式距离无法准确反映样本之间的实际距离。

因此，在处理多维数据时，需要一种更合适的方法来修正这些问题。

2. 各选项分析

A. 切比雪夫距离

切比雪夫距离的定义是：

• 它衡量的是两个点在各个维度上的最大差值。
• 切比雪夫距离没有考虑尺度和相关性的问题，仍然会受到量纲的影响。
• 不适合修正欧式距离中的问题。

B. 马氏距离

马氏距离的定义是：

其中：

• x 和 y 是两个样本点。
• Σ 是协方差矩阵，用于描述数据集中各维度之间的相关性和尺度差异。
• Σ−1 是协方差矩阵的逆矩阵。

特点：

• 马氏距离通过协方差矩阵对数据进行标准化，消除了不同维度之间的量纲差异。
• 考虑了维度之间的相关性，能够更好地反映样本之间的实际距离。
• 适合修正欧式距离中的问题。

C. 汉明距离

汉明距离主要用于离散变量（如字符串、二进制数等），其定义是：

• 适用于分类变量或离散数据，无法直接应用于连续型数据。
• 与欧式距离无关，也无法解决尺度和相关性问题。

D. 曼哈顿距离

曼哈顿距离的定义是：

• 它是各个维度上绝对差值的总和。
• 曼哈顿距离同样没有考虑尺度和相关性的问题，仍然会受到量纲的影响。
• 不适合修正欧式距离中的问题。

3. 为什么选择马氏距离？

• 修正尺度不一致：马氏距离通过对协方差矩阵进行标准化，消除了不同维度之间的量纲差异。
• 考虑维度相关性：马氏距离利用协方差矩阵捕捉维度之间的相关性，能够更准确地反映样本之间的实际距离。
• 因此，马氏距离是修正欧式距离中尺度不一致和相关性问题的最佳选择。

各选项距离特点分析

1. A 切比雪夫距离

   计算各维度差值的最大值，公式为 \(d = \max(|x_1-y_1|, |x_2-y_2|, ..., |x_n-y_n|)\)。

   它仅关注差异最大的维度，既不处理尺度不一致，也不解决维度相关问题，常见于 “最不利情况” 分析（如棋盘上国王的最短步数）。
2. B 马氏距离

   核心是引入协方差矩阵，公式为 \(d = \sqrt{(X-Y)^T \Sigma^{-1} (X-Y)}\)（其中 \(\Sigma\) 是维度的协方差矩阵）。
   • 协方差矩阵的逆能消除维度相关：若两个维度正相关（如身高和体重），会通过矩阵运算降低其重复影响。
   • 同时能统一尺度：无需手动标准化（如将厘米、千克转为同一单位），矩阵会自动修正不同维度的尺度差异，完全解决欧式距离的两个核心问题。
3. C 汉明距离

   仅用于离散分类数据（如字符串、二进制），计算两个样本中 “不同维度的数量”（如 “0110” 与 “0101” 的汉明距离为 2）。

   与连续数据的尺度、相关性无关，不适用该问题场景。
4. D 曼哈顿距离

   计算各维度差值的绝对值之和，公式为 \(d = |x_1-y_1| + |x_2-y_2| + ... + |x_n-y_n|\)。

   它本质是欧式距离的 “L1 范数” 版本，同样未处理维度尺度不一致和相关性，仅比欧式距离更关注 “ Manhattan 街区式” 的路径累加。