对于矩阵A1(20*25)、A2(25*5)、A3(5*15

为了确定矩阵链乘法中计算开销最小的选项，需要计算每个选项的乘法次数（即标量乘法次数）。矩阵乘法的开销取决于矩阵的维度，两个矩阵 Am×nAm×n 和 Bn×pBn×p 相乘的开销为 m×n×pm×n×p。

给定矩阵维度：

• A1: 20×2520×25

• A2: 25×525×5

• A3: 5×155×15

• A4: 15×1015×10

• A5: 10×2010×20

• A6: 20×2520×25

选项 A: (A1A2)(((A3A4)A5)A6)(A1A2)(((A3A4)A5)A6)

计算步骤及开销：

1. 计算 A1A2A1A2: 20×25×5=250020×25×5=2500，结果矩阵 20×520×5

2. 计算 A3A4A3A4: 5×15×10=7505×15×10=750，结果矩阵 5×105×10

3. 计算 (A3A4)A5(A3A4)A5: 5×10×20=10005×10×20=1000，结果矩阵 5×205×20

4. 计算 ((A3A4)A5)A6((A3A4)A5)A6: 5×20×25=25005×20×25=2500，结果矩阵 5×255×25

5. 计算 (A1A2)×(((A3A4)A5)A6)(A1A2)×(((A3A4)A5)A6): 20×5×25=250020×5×25=2500，结果矩阵 20×2520×25

总开销 = 2500+750+1000+2500+2500=92502500+750+1000+2500+2500=9250

选项 B: (A1A2A3)((A4A5)A6)(A1A2A3)((A4A5)A6)

选项 B 中的 (A1A2A3)(A1A2A3) 未指定括号顺序，需考虑两种可能：

• 情况 1: ((A1A2)A3)((A1A2)A3)

  1. 计算 A1A2A1A2: 20×25×5=250020×25×5=2500，结果矩阵 20×520×5

  2. 计算 (A1A2)A3(A1A2)A3: 20×5×15=150020×5×15=1500，结果矩阵 20×1520×15

  3. 计算 A4A5A4A5: 15×10×20=300015×10×20=3000，结果矩阵 15×2015×20

  4. 计算 (A4A5)A6(A4A5)A6: 15×20×25=750015×20×25=7500，结果矩阵 15×2515×25

  5. 计算 ((A1A2)A3)×((A4A5)A6)((A1A2)A3)×((A4A5)A6): 20×15×25=750020×15×25=7500，结果矩阵 20×2520×25

  总开销 = 2500+1500+3000+7500+7500=220002500+1500+3000+7500+7500=22000

• 情况 2: (A1(A2A3))(A1(A2A3))

  1. 计算 A2A3A2A3: 25×5×15=187525×5×15=1875，结果矩阵 25×1525×15

  2. 计算 A1×(A2A3)A1×(A2A3): 20×25×15=750020×25×15=7500，结果矩阵 20×1520×15

  3. 计算 A4A5A4A5: 15×10×20=300015×10×20=3000，结果矩阵 15×2015×20

  4. 计算 (A4A5)A6(A4A5)A6: 15×20×25=750015×20×25=7500，结果矩阵 15×2515×25

  5. 计算 (A1(A2A3))×((A4A5)A6)(A1(A2A3))×((A4A5)A6): 20×15×25=750020×15×25=7500，结果矩阵 20×2520×25

  总开销 = 1875+7500+3000+7500+7500=273751875+7500+3000+7500+7500=27375

选项 B 的最小开销为 22000（对应 ((A1A2)A3)((A1A2)A3)）。

选项 C: (((A1((A2A3)A4))A5)A6)(((A1((A2A3)A4))A5)A6)

计算步骤及开销：

1. 计算 A2A3A2A3: 25×5×15=187525×5×15=1875，结果矩阵 25×1525×15

2. 计算 (A2A3)A4(A2A3)A4: 25×15×10=375025×15×10=3750，结果矩阵 25×1025×10

3. 计算 A1×((A2A3)A4)A1×((A2A3)A4): 20×25×10=500020×25×10=5000，结果矩阵 20×1020×10

4. 计算 (A1((A2A3)A4))A5(A1((A2A3)A4))A5: 20×10×20=400020×10×20=4000，结果矩阵 20×2020×20

5. 计算 (((A1((A2A3)A4))A5)A6(((A1((A2A3)A4))A5)A6: 20×20×25=1000020×20×25=10000，结果矩阵 20×2520×25

总开销 = 1875+3750+5000+4000+10000=246251875+3750+5000+4000+10000=24625

选项 D: (A1A2)((A3(A4A5))A6)(A1A2)((A3(A4A5))A6)

计算步骤及开销：

1. 计算 A1A2A1A2: 20×25×5=250020×25×5=2500，结果矩阵 20×520×5

2. 计算 A4A5A4A5: 15×10×20=300015×10×20=3000，结果矩阵 15×2015×20

3. 计算 A3×(A4A5)A3×(A4A5): 5×15×20=15005×15×20=1500，结果矩阵 5×205×20

4. 计算 (A3(A4A5))A6(A3(A4A5))A6: 5×20×25=25005×20×25=2500，结果矩阵 5×255×25

5. 计算 (A1A2)×((A3(A4A5))A6)(A1A2)×((A3(A4A5))A6): 20×5×25=250020×5×25=2500，结果矩阵 20×2520×25

总开销 = 2500+3000+1500+2500+2500=120002500+3000+1500+2500+2500=12000

比较各选项开销

• 选项 A: 9250

• 选项 B: 22000（最小可能）

• 选项 C: 24625

• 选项 D: 12000

最小开销为 9250，对应选项 A。此外，通过动态规划计算整个矩阵链的最小开销也为 9250，与选项 A 一致。

因此，计算开销最小的是 A。