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• 对照解析查漏补缺

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携程-2026.04.12

题目总览

题号	题名	主要做法	难度
1	双仓配货	数论构造	简单
2	灯带调色窗口	邻接边贡献 + 区间翻转	中等
3	归一化梯度训练器	数值模拟	困难
4	分裂总能量	递推 + 快速幂/矩阵转移	困难

这套 4 月 12 日的携程题单跨度比较大。前两题偏转化和观察，第三题直接切到数值计算，第四题则要把分裂过程压成稳定递推。做题时如果模型切换不够快，后两题会明显拖时间。

1. 双仓配货

问题描述

小兰需要把总量为 的货物拆到两个仓库里，两个仓库最终拿到的货物量分别记为 和 。

现在有两个要求：

• 
• 和 都必须是合数

其中，合数指大于 且不是质数的正整数， 和 都不算合数。

如果存在可行方案，输出任意一组满足条件的 ；如果不存在，输出 -1。

输入格式

第一行输入一个整数 ，表示测试数据组数。

接下来 行，每行输入一个正整数 。

输出格式

对于每组数据：

• 如果无解，输出 -1
• 否则输出两个正整数

样例输入

3
1
4
7

样例输出

-1
4 4
6 8

数据范围

• 
• 

样例说明

• 样例1 的第 组：，不可能拆成两个合数，所以输出 -1。
• 样例1 的第 组：，可以拆成 。
• 样例1 的第 组：，可以拆成 。

题解

这题不需要真的去找很多方案，只要找到一组固定构造就够了。

先看一个很稳定的选择：

• 取
• 取

只要 ，就有：

• ，它本身就是合数。
• ，而且它一定是偶数。

一个不小于 的偶数一定是合数，所以这时答案一定存在。

反过来看，如果 ，那么 。两个最小的合数都是 ，它们加起来已经是 ，所以更小的和根本凑不出两个合数。

因此结论很直接：

• 时输出 -1
• 时输出 4 和 2n - 4

复杂度分析

每组数据只做常数次判断，时间复杂度是 ，总时间复杂度是 ，空间复杂度是 。

参考代码（Python）

import sys

input = lambda:sys.stdin.readline().strip()

def solve() -> None:
    # Read input in ACM mode and build the answer directly.
    t = int(input())
    out = []
    for _ in range(t):
        n = int(input())
        if n < 4:
            out.append("-1")
        else:
            out.append(f"4 {n * 2 - 4}")
    sys.stdout.write("\n".join(out))

if __name__ == "__main__":
    # Standard ACM entry.
    solve()

2. 灯带调色窗口

问题描述

园子手里有一条长度为 的灯带，每个位置只有两种颜色状态：0 或 1。

相邻两个灯珠之间共有 条连接边，第 条边连接位置 和位置 ，它的权重是 。

如果一条边两端的灯珠状态相同，那么这条边会贡献自己的权重。所有这类边权之和，定义为整条灯带的稳定值。

现在允许进行至多一次操作：

• 选择一个连续区间
• 把区间内的每个字符同时翻转，即 0 变 1，1 变 0

也可以不做任何操作。

请输出操作后稳定值的最大可能值。

输入格式

第一行输入一个整数 ，表示灯珠数量。

第二行输入一个长度为 的二进制字符串 。

第三行输入 个整数 。

输出格式

输出一个整数，表示最大稳定值。

样例输入

5
01010
2 1 3 4

样例输出

7

样例输入

6
111000
1 2 3 4 5

样例输出

15

数据范围

• 
• 
• 

样例说明

• 样例1：把区间 翻转后，灯带变成 00100，此时第 条边两端相同，答案是 。
• 样例2：原串本身已经是最优情况，不做操作时稳定值就是 。

题解

这题看起来像区间翻转，但真正会变化的边其实只有区间的两侧边界。

假设翻转的是区间 。

为什么只有边界会受影响

对于区间内部的任意一条边，它的两个端点都会一起翻转：

• 原来相同，翻转后仍然相同
• 原来不同，翻转后仍然不同

所以区间内部所有边的贡献都不会改变。

真正可能变化的，只有：

• 左边界这条边
• 右边界这条边

如果区间顶到边界，那么对应那一侧根本没有边，变化量就是 。

把每条边的变化量单独记下来

对于第 条边，也就是连接 和 的边：

• 如果原来两端相同，翻转其中一侧后会变成不同，收益是
• 如果原来两端不同，翻转其中一侧后会变成相同，收益是

记成数组 ：

• ，当
• ，当

再额外补两个哨兵：

• 
• 

这样翻转区间 的总收益就统一写成：

问题就变成了：

• 在下标满足 的前提下
• 最大化

这里令 ，。

线性扫描求最大值

从左到右枚举右端点 ，同时维护前面出现过的最大 ，就能在线性时间内求出最大收益。

最后答案是：

多出来的这个 对应“不翻转也可以”。

复杂度分析

只需要一次扫描，时间复杂度是 ，空间复杂度是 。

参考代码（Python）

import sys

input = lambda:sys.stdin.readline().strip()

def solve() -> None:
    # Read input in ACM mode and build the answer directly.
    n = int(input())
    s = input()
    w = list(map(int, input().split()))

    base = 0
    for i in range(n - 1):
        if s[i] == s[i + 1]:
            base += w[i]

    gain = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n):
        if s[i - 1] == s[i]:
            gain[i] = -w[i - 1]
        else:
            gain[i] = w[i - 1]

    best_pre = gain[0]
    best_add = 0
    for i in range(1, n + 1):
        cur = best_pre + gain[i]
        if cur > best_add:
            best_add = cur
        if gain[i] > best_pre:
            best_pre = gain[i]

    print(base + best_add)

if __name__ == "__main__":
    # Standard ACM entry.
    solve()

3. 归一化梯度训练器

问题描述

小兰正在调试一个简化版的 NGD（Normalized Gradient Descent）训练器。

给定训练集特征矩阵 、训练标签向量 ，目标函数定义为：

其中参数固定为：

• 
• 
• 
• 

梯度为：

第 轮先把梯度归一化成单位 向量，再按衰减学习率更新：

初始权重向量取全 。

如果某一轮出现下面任意一种情况：

• 
• 梯度中出现 NaN 或 Inf
• 梯度范数不是有限值

那么这一轮直接跳过更新，但轮次仍然照常计入总步数。

完成 轮后，用最终权重对测试集做线性预测：

若某个预测值大于等于 ，