《算法动态规划进阶：0-1 背包问题的 3 种解法》

# 算法动态规划进阶：0-1 背包问题的 3 种解法 💡

0-1背包问题是动态规划领域的经典问题，也是算法面试中的常客。今天我们来探讨它的三种解法，助你彻底掌握这个算法明珠✨

## 1️⃣ 基础动态规划解法（二维数组）

最直观的解法是使用二维DP数组`dp[i][j]`表示前i个物品在容量j时的最大价值。状态转移方程为：

```python
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
```

这种方法思路清晰👌，但空间复杂度为O(nW)，当W很大时会消耗较多内存💾。

## 2️⃣ 空间优化解法（一维数组）

聪明的优化是发现每次更新只需要上一行的数据，因此可以用一维数组滚动更新：

```python
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i])
```

注意要从后往前遍历背包容量🔄，避免重复计算。空间复杂度降至O(W)，效率提升明显🚀！

## 3️⃣ 记忆化递归解法（自顶向下）

对于习惯递归思维的同学，可以采用记忆化搜索：

```python
def dfs(i, c):
  if memo[i][c] != -1: return memo[i][c]
  if i == 0: return 0
  if w[i] > c: return dfs(i-1, c)
  memo[i][c] = max(dfs(i-1,c), dfs(i-1,c-w[i])+v[i])
  return memo[i][c]
```

这种方法更符合直觉🧠，但递归调用会有额外开销，适合物品数量较少的情况。

## 总结 📚

三种解法各有千秋：
- 二维DP：教学意义强📖
- 一维DP：实际应用首选🏆
- 记忆化递归：思维转换训练💪

掌握这三种解法，0-1背包问题将不再是你的拦路虎🐯！进阶算法之路，从彻底理解经典问题开始！
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