牛顿迭代法求极值的MATLAB实现
牛顿迭代法求函数极值的基本原理
牛顿迭代法是一种基于泰勒展开的数值优化方法，通过迭代逼近函数的极值点。对于一元函数 ( f(x) )，极值点需满足 ( f'(x) = 0 )。牛顿迭代法的更新公式为：
[ x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} ]
该方法利用函数的一阶导数和二阶导数信息，通过线性近似快速收敛到极值点。
实现牛顿迭代法的MATLAB步骤
定义目标函数及其导数
在MATLAB中，需要先定义目标函数 ( f(x) ) 及其一阶导数 ( f'(x) ) 和二阶导数 ( f''(x) )。例如，对于函数 ( f(x) = x^3 - 2x^2 + x )，代码如下：
syms x;
f = x^3 - 2*x^2 + x; % 定义目标函数
df = diff(f, x); % 一阶导数
d2f = diff(df, x); % 二阶导数
初始化迭代参数
设置初始猜测值 ( x_0 )、迭代容忍误差 ( tol ) 和最大迭代次数 ( max_iter )。
x0 = 1.5; % 初始猜测值
tol = 1e-6; % 容忍误差
max_iter = 100; % 最大迭代次数
实现牛顿迭代循环
通过循环更新 ( x ) 的值，直到满足收敛条件或达到最大迭代次数。
for iter = 1:max_iter
df_val = double(subs(df, x, x0)); % 计算一阶导数值
d2f_val = double(subs(d2f, x, x0)); % 计算二阶导数值
if abs(df_val) < tol % 检查收敛条件
break;
end
x0 = x0 - df_val / d2f_val; % 牛顿迭代更新
end
输出结果
显示最终的极值点和函数值。
fprintf('极值点: x = %.6f\n', x0);
fprintf('函数值: f(x) = %.6f\n', double(subs(f, x, x0)));
处理多变量函数的极值问题
对于多变量函数 ( f(\mathbf{x}) )，牛顿迭代法需要用到梯度和Hessian矩阵。更新公式为：
[ \mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n - H^{-1}(\mathbf{x}_n) \nabla f(\mathbf{x}_n) ]
定义目标函数及其梯度与Hessian
以二元函数 ( f(x, y) = x^2 + y^2 + xy ) 为例：
syms x y;
f = x^2 + y^2 + x*y; % 定义目标函数
grad_f = gradient(f); % 梯度
hess_f = hessian(f); % Hessian矩阵
初始化与迭代
设置初始点 ( \mathbf{x}_0 = [x_0, y_0] )，其余步骤与一元情况类似。
x0 = [1; 1]; % 初始猜测值
tol = 1e-6;
max_iter = 100;
for iter = 1:max_iter
grad_val = double(subs(grad_f, {x, y}, {x0(1), x0(2)}));
hess_val = double(subs(hess_f, {x, y}, {x0(1), x0(2)}));
if norm(grad_val) < tol
break;
end
x0 = x0 - inv(hess_val) * grad_val; % 多变量牛顿更新
end
注意事项与优化建议
收敛性与初始值选择
牛顿迭代法的收敛性依赖于初始猜测值。若初始值远离极值点或Hessian矩阵非正定，可能导致发散。建议结合线搜索（如Armijo准则）改进稳定性。
数值稳定性
直接计算Hessian矩阵的逆可能不稳定，可使用MATLAB的 \ 运算符求解线性方程组：
x0 = x0 - hess_val \ grad_val; % 更稳定的求解方式
符号计算与数值计算的平衡
对于复杂函数，符号计算可能效率较低。可在迭代前将符号表达式转换为匿名函数以提高速度：
f_func = matlabFunction(f, 'Vars', {x});
df_func = matlabFunction(df, 'Vars', {x});
d2f_func = matlabFunction(d2f, 'Vars', {x});
完整代码示例
以下是一元函数牛顿迭代法求极值的完整MATLAB代码：
syms x;
f = x^3 - 2*x^2 + x;
df = diff(f, x);
d2f = diff(df, x);
x0 = 1.5;
tol = 1e-6;
max_iter = 100;
for iter = 1:max_iter
df_val = double(subs(df, x, x0));
d2f_val = double(subs(d2f, x, x0));
if abs(df_val) < tol
break;
end
x0 = x0 - df_val / d2f_val;
end
fprintf('极值点: x = %.6f\n', x0);
fprintf('函数值: f(x) = %.6f\n', double(subs(f, x, x0)));
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