二分查找高效破解旋转数组

搜索旋转排序数组（LeetCode 33）

给定一个旋转后的有序数组和一个目标值，要求确定目标值是否存在于数组中。旋转排序数组的特点是部分有序，可以通过二分查找的变种高效解决。

核心思路：利用二分查找确定有序部分，判断目标值是否在有序范围内。每次将数组分为两部分，至少有一部分是有序的。通过比较中间元素与左右边界，确定目标值所在的区间。

关键步骤：

初始化左右指针 left 和 right。
计算中间位置 mid，检查 nums[mid] 是否等于目标值。
若 nums[left] <= nums[mid]，说明左半部分有序。若目标值在左半部分范围内，调整右指针；否则调整左指针。
若右半部分有序，同理判断目标值是否在右半部分范围内。

代码示例：

def search(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] == target:
            return mid
        if nums[left] <= nums[mid]:
            if nums[left] <= target < nums[mid]:
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1
        else:
            if nums[mid] < target <= nums[right]:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
    return -1

寻找旋转排序数组中的最小值（LeetCode 153）

在旋转后的有序数组中寻找最小元素。旋转数组的最小值通常位于无序部分的起始点。

核心思路：通过二分查找比较中间元素与右边界元素。若中间元素大于右边界，最小值在右半部分；否则在左半部分。

关键步骤：

初始化左右指针 left 和 right。
比较中间元素 nums[mid] 与右边界 nums[right]。
若 nums[mid] > nums[right]，最小值在右半部分，调整左指针。
否则最小值在左半部分或中间位置，调整右指针。

代码示例：

def findMin(nums):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] > nums[right]:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    return nums[left]

寻找两个正序数组的中位数（LeetCode 4）

给定两个有序数组，要求找到它们合并后的中位数。时间复杂度需控制在 O(log(min(m, n)))。

核心思路：通过二分查找确定分割线，使得左右两部分元素数量相等或差一。比较分割线两侧元素确保左半部分最大值小于右半部分最小值。

关键步骤：

确保第一个数组长度小于第二个数组，以减少查找范围。
在较短数组中进行二分查找，确定分割线位置。
计算较长数组的分割线位置，使得左右两部分元素数量平衡。
比较分割线两侧元素，调整查找范围直至满足条件。

代码示例：

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    if len(nums1) > len(nums2):
        nums1, nums2 = nums2, nums1
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    left, right = 0, m
    while left <= right:
        partition1 = (left + right) // 2
        partition2 = (m + n + 1) // 2 - partition1
        max_left1 = float('-inf') if partition1 == 0 else nums1[partition1 - 1]
        min_right1 = float('inf') if partition1 == m else nums1[partition1]
        max_left2 = float('-inf') if partition2 == 0 else nums2[partition2 - 1]
        min_right2 = float('inf') if partition2 == n else nums2[partition2]
        if max_left1 <= min_right2 and max_left2 <= min_right1:
            if (m + n) % 2 == 0:
                return (max(max_left1, max_left2) + min(min_right1, min_right2)) / 2
            else:
                return max(max_left1, max_left2)
        elif max_left1 > min_right2:
            right = partition1 - 1
        else:
            left = partition1 + 1

总结

以上三个问题均涉及二分查找的变种应用，关键在于理解如何通过比较中间元素与边界元素来缩小搜索范围。旋转数组问题需利用部分有序特性，中位数问题则通过分割线平衡两部分元素数量。掌握这些技巧可高效解决类似问题。

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