七大排序算法详解与实现

七大排序算法的基本原理

冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡排序通过重复地遍历待排序的列表，比较相邻的元素并交换它们的位置来实现排序。每一轮遍历会将当前未排序部分的最大元素“冒泡”到正确的位置。

时间复杂度：

最优情况：$O(n)$（列表已经有序）
最坏情况：$O(n^2)$（列表完全逆序）
平均情况：$O(n^2)$

空间复杂度：$O(1)$（原地排序）

def bubble_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        swapped = False
        for j in range(0, n-i-1):
            if arr[j] > arr[j+1]:
                arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]
                swapped = True
        if not swapped:
            break

选择排序（Selection Sort）

选择排序每次从未排序部分选择最小（或最大）的元素，将其放到已排序部分的末尾。它是一种不稳定的排序算法。

时间复杂度：

最优、最坏和平均情况均为 $O(n^2)$

空间复杂度：$O(1)$

def selection_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        min_idx = i
        for j in range(i+1, n):
            if arr[j] < arr[min_idx]:
                min_idx = j
        arr[i], arr[min_idx] = arr[min_idx], arr[i]

插入排序（Insertion Sort）

插入排序通过构建有序序列，逐步将未排序部分的元素插入到已排序部分的适当位置。对于小规模或基本有序的数据效率较高。

时间复杂度：

最优情况：$O(n)$（列表已经有序）
最坏情况：$O(n^2)$（列表完全逆序）
平均情况：$O(n^2)$

空间复杂度：$O(1)$

def insertion_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(1, n):
        key = arr[i]
        j = i-1
        while j >=0 and key < arr[j]:
            arr[j+1] = arr[j]
            j -= 1
        arr[j+1] = key

归并排序（Merge Sort）

归并排序采用分治法，将列表分成两半，递归排序后再合并。它是一种稳定的排序算法。

时间复杂度：

最优、最坏和平均情况均为 $O(n \log n)$

空间复杂度：$O(n)$（需要额外的存储空间）

def merge_sort(arr):
    if len(arr) > 1:
        mid = len(arr)//2
        L = arr[:mid]
        R = arr[mid:]
        merge_sort(L)
        merge_sort(R)
        i = j = k = 0
        while i < len(L) and j < len(R):
            if L[i] < R[j]:
                arr[k] = L[i]
                i += 1
            else:
                arr[k] = R[j]
                j += 1
            k += 1
        while i < len(L):
            arr[k] = L[i]
            i += 1
            k += 1
        while j < len(R):
            arr[k] = R[j]
            j += 1
            k += 1

快速排序（Quick Sort）

快速排序通过选择一个“基准”元素，将列表分为小于基准和大于基准的两部分，再递归排序这两部分。它是一种高效的排序算法，但不稳定。

时间复杂度：

最优和平均情况：$O(n \log n)$
最坏情况：$O(n^2)$（当基准选择不当时）

空间复杂度：$O(\log n)$（递归调用栈）

def quick_sort(arr, low, high):
    if low < high:
        pi = partition(arr, low, high)
        quick_sort(arr, low, pi-1)
        quick_sort(arr, pi+1, high)

def partition(arr, low, high):
    pivot = arr[high]
    i = low - 1
    for j in range(low, high):
        if arr[j] < pivot:
            i += 1
            arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
    arr[i+1], arr[high] = arr[high], arr[i+1]
    return i+1

堆排序（Heap Sort）

堆排序利用堆数据结构，将列表构建为大顶堆或小顶堆，再逐步取出堆顶元素完成排序。它是一种不稳定的排序算法。

时间复杂度：

最优、最坏和平均情况均为 $O(n \log n)$

空间复杂度：$O(1)$

def heapify(arr, n, i):
    largest = i
    l = 2 * i + 1
    r = 2 * i + 2
    if l < n and arr[i] < arr[l]:
        largest = l
    if r < n and arr[largest] < arr[r]:
        largest = r
    if largest != i:
        arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]
        heapify(arr, n, largest)

def heap_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n//2 - 1, -1, -1):
        heapify(arr, n, i)
    for i in range(n-1, 0, -1):
        arr[i], arr[0] = arr[0], arr[i]
        heapify(arr, i, 0)

计数排序（Counting Sort）

计数排序通过统计每个元素的出现次数，直接确定元素在输出数组中的位置。它是一种非比较排序算法，适用于整数数据且范围较小的情况。

时间复杂度：

最优、最坏和平均情况均为 $O(n + k)$（$k$ 是数据范围）

空间复杂度：$O(n + k)$

def counting_sort(arr):
    max_val = max(arr)
    min_val = min(arr)
    range_val = max_val - min_val + 1
    count = [0] * range_val
    output = [0] * len(arr)
    for num in arr:
        count[num - min_val] += 1
    for i in range(1, len(count)):
        count[i] += count[i-1]
    for num in reversed(arr):
        output[count[num - min_val] - 1] = num
        count[num - min_val] -= 1
    return output

总结

七大排序算法各有特点：

冒泡排序、选择排序、插入排序适合小规模数据或教学演示。
归并排序、快速排序、堆排序适合大规模数据，时间复杂度为 $O(n \log n)$。
计数排序适用于特定场景（如整数且范围较小）。

根据数据规模、稳定性和内存限制选择合适的算法。

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BbS.okacop014.info/PoSt/1120_769849.HtM
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