LeetCode 437：二叉树路径总和III详解

问题描述

LeetCode 437. 路径总和 III 要求在一个二叉树中，统计所有路径的和等于给定目标值的路径数量。路径不需要从根节点开始，也不需要在叶子节点结束，但必须是从父节点指向子节点的方向。

解题思路

该问题可以通过深度优先搜索（DFS）结合前缀和的方法高效解决。核心思想是利用哈希表记录从根节点到当前节点的路径前缀和，通过检查当前前缀和与目标值的差值是否存在哈希表中，快速判断是否存在符合条件的路径。

方法一：双重递归

采用双重递归的方式，外层递归遍历每个节点作为路径的起点，内层递归计算以当前节点为起点的所有路径和。

class Solution:
    def pathSum(self, root: TreeNode, targetSum: int) -> int:
        if not root:
            return 0
        
        def dfs(node, current_sum):
            if not node:
                return 0
            current_sum += node.val
            count = 1 if current_sum == targetSum else 0
            count += dfs(node.left, current_sum)
            count += dfs(node.right, current_sum)
            return count
        
        return dfs(root, 0) + self.pathSum(root.left, targetSum) + self.pathSum(root.right, targetSum)

时间复杂度：O(n^2)，最坏情况下每个节点被访问多次。
空间复杂度：O(n)，递归栈的深度。

方法二：前缀和优化

利用前缀和的思想，将路径和问题转化为查找前缀和之差等于目标值的问题。通过哈希表记录前缀和的出现次数，避免重复计算。

class Solution:
    def pathSum(self, root: TreeNode, targetSum: int) -> int:
        from collections import defaultdict
        prefix_sum = defaultdict(int)
        prefix_sum[0] = 1
        
        def dfs(node, current_sum):
            if not node:
                return 0
            current_sum += node.val
            count = prefix_sum.get(current_sum - targetSum, 0)
            prefix_sum[current_sum] += 1
            count += dfs(node.left, current_sum)
            count += dfs(node.right, current_sum)
            prefix_sum[current_sum] -= 1
            return count
        
        return dfs(root, 0)

时间复杂度：O(n)，每个节点仅被访问一次。
空间复杂度：O(n)，哈希表和递归栈的空间。

关键点分析

前缀和的应用：通过记录从根节点到当前节点的路径和，可以快速判断是否存在满足条件的子路径。
哈希表的维护：在递归过程中动态更新哈希表，确保仅统计当前路径的前缀和。
回溯思想：在递归返回时恢复哈希表的状态，避免对其他路径的干扰。

边界条件

空树直接返回0。
节点值为负数或目标值为负数时，算法仍然有效。
路径可以是单节点，只要其值等于目标值。

复杂度对比

| 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | |----------------|------------|------------| | 双重递归 | O(n^2) | O(n) | | 前缀和优化 | O(n) | O(n) |

总结

LeetCode 437 是一个典型的树形动态规划问题，通过前缀和优化可以将时间复杂度从O(n^2)降低到O(n)。理解前缀和的应用以及哈希表的维护是解决此类问题的关键。

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