快速排序：高效分治的奥秘

快速排序的基本原理

快速排序（Quick Sort）是一种基于分治思想的高效排序算法，由Tony Hoare于1960年提出。其核心思想是通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，再分别对这两部分记录继续进行排序。

快速排序的平均时间复杂度为O(n log n)，最坏情况下为O(n2)，但通过优化策略可大幅降低最坏情况出现的概率。它是一种不稳定的排序算法，即相等元素的相对位置可能在排序后改变。

快速排序的实现步骤

选择基准值（Pivot） 从待排序数组中选择一个元素作为基准值。基准值的选择直接影响算法效率，常见策略包括选择第一个元素、最后一个元素、中间元素或随机元素。

分区操作（Partition） 将数组分为两个子数组，使得左边子数组的所有元素小于等于基准值，右边子数组的所有元素大于基准值。分区过程通常采用双指针法：左指针向右移动寻找大于基准值的元素，右指针向左移动寻找小于基准值的元素，交换两者后继续移动直至指针重合。

递归排序子数组 对左右两个子数组递归地应用上述过程，直至子数组长度为1或0时终止递归。递归的终止条件保证了算法能够正确结束。

快速排序的代码实现（Python示例）

def quick_sort(arr, low, high):
    if low < high:
        # 获取分区点索引
        pi = partition(arr, low, high)
        # 递归排序左子数组
        quick_sort(arr, low, pi - 1)
        # 递归排序右子数组
        quick_sort(arr, pi + 1, high)

def partition(arr, low, high):
    # 选择最右元素作为基准
    pivot = arr[high]
    # 初始化较小元素的指针
    i = low - 1
    for j in range(low, high):
        # 当前元素小于等于基准时
        if arr[j] <= pivot:
            i += 1
            # 交换元素
            arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
    # 将基准放到正确位置
    arr[i + 1], arr[high] = arr[high], arr[i + 1]
    return i + 1

快速排序的优化策略

三数取中法 选择基准值时，取数组头、尾、中间三个元素的中值作为基准，可有效避免极端分布导致的性能退化。

小数组切换插入排序 当子数组长度小于特定阈值（如10）时，改用插入排序。插入排序在小规模数据上表现更优，能减少递归开销。

尾递归优化 将第二个递归调用改为循环结构，可减少栈空间的使用，防止递归过深导致栈溢出。

快速排序的性能分析

时间复杂度 理想情况下每次分区都能将数组平分，递归树高度为log n，每层处理时间为O(n)，总体为O(n log n)。最坏情况下数组已有序，递归树退化为链表，时间复杂度升至O(n2)。

空间复杂度 主要消耗在递归调用栈，平均情况下为O(log n)，最坏情况下为O(n)。通过尾递归优化可降低至O(log n)。

稳定性问题 由于分区过程中可能改变相等元素的相对位置，快速排序是不稳定的排序算法。若需保持稳定性，可采用额外空间存储原始位置信息。

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