✅ 秋招备战指南 ✅

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• 先尝试独立解题
• 对照解析查漏补缺

🧸 题面描述背景等均已深度改编，做法和题目本质基本保持一致。

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阿里云

题目一：魔法药剂配方调制

1️⃣：从两个约束条件建立二元方程组

2️⃣：通过代入消元法得到二次方程

3️⃣：使用求根公式推导出统一解

难度：简单

这道题目考查的是基础的代数运算和方程求解能力。关键在于理解两个数学约束条件之间的关系，通过代入消元法将问题转化为一元二次方程。最终发现对于任意非零整数 ，都存在唯一的整数解，使得问题变得相当直接。

题目二：深度学习模型训练优化器

1️⃣：理解四阶段学习率调度的数学公式

2️⃣：使用 NumPy 进行向量化计算提高效率

3️⃣：正确处理 JSON 输入输出和精度控制

难度：简单

这道题目主要考查对分段函数的理解和 NumPy 库的熟练使用。虽然涉及深度学习概念，但本质上是数学公式的程序实现。关键技巧是使用掩码技术同时处理多个数据点，避免低效的循环操作。

题目三：古代密码宝箱解锁

1️⃣：分析最大公约数和的最小值构造方法

2️⃣：利用贝特朗定理寻找合适的目标素数

3️⃣：通过调整特定位置实现精确的和值控制

难度：中等

这道题目结合了数论、素数判断和构造算法。核心洞察是先构造一个基准方案使所有 都为1，然后通过调整一个位置来达到最小素数目标。需要理解 的性质以及如何通过巧妙的数值设置来控制最大公约数的值。

01. 魔法药剂配方调制

问题描述

小柯是一位炼金术师，她正在研究古老的魔法药剂配方。根据古籍记载，某种强力药剂需要三种珍贵材料：火焰精华、冰霜之心和雷电宝石。

炼金术的核心在于材料间的神秘比例关系。设三种材料的用量分别为 、、 个单位，它们必须满足以下两个炼金法则：

• 能量平衡法则：

• 质量守恒法则：

小柯已经确定了 的用量，现在需要计算出对应的 和 的用量。由于材料的珍贵性，所有用量都必须是非零整数，且三种材料的用量必须互不相等。

输入格式

第一行包含一个正整数 ，表示需要配制的药剂种类数。

接下来 行，每行包含一个非零整数 ，表示冰霜之心的用量。

输出格式

对于每种药剂，输出一行结果：

如果存在满足条件的材料用量 和 ，输出两个整数 和 （需满足 ）；

如果不存在这样的配方，输出 。

样例输入

1
1

样例输出

-2 4

样例	解释说明
样例1	当 时，取 。验证：，且

数据范围

• 
• 且

题解

这道题目本质上是解一个二元方程组，关键在于从两个约束条件中推导出 和 的表达式。

分析过程：

从质量守恒法则可以得到：

将这个关系代入能量平衡法则：

通过通分和整理，可以得到：

交叉相乘后化简：

展开并整理得到二次方程：

求解公式：

使用二次方程求根公式：

分情况讨论：

• 当 时，取负号得
• 当 时，取正号得

因此统一公式为：，

验证解的有效性：

1. 非零性：由于 ，所以 ，
2. 互不相等：，， 显然两两不等
3. 范围限制：当 时，，，都在允许范围内

时间复杂度： 每组数据 空间复杂度：

参考代码

Python

import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()

def solve():
    t = int(input())
    
    for _ in range(t):
        b = int(input())
        
        # 根据推导的公式直接计算
        a = -2 * b
        c = 4 * b
        
        print(a, c)

if __name__ == "__main__":
    solve()

Cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        long long b;
        cin >> b;
        
        // 使用推导的公式计算结果
        long long a = -2LL * b;
        long long c = 4LL * b;
        
        cout << a << " " << c << "\n";
    }
    
    return 0;
}

Java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        
        int t = sc.nextInt();
        
        while (t-- > 0) {
            long b = sc.nextLong();
            
            // 应用数学推导得到的公式
            long fireEssence = -2L * b;  // 火焰精华用量
            long thunder = 4L * b;       // 雷电宝石用量
            
            System.out.println(fireEssence + " " + thunder);
        }
        
        sc.close();
    }
}

02. 深度学习模型训练优化器

问题描述

小毛正在开发一个新型的深度学习训练系统，需要实现一种称为 QWCC（Quadratic-Warm/Cubic-Cool）的学习率调度算法。这种算法采用四阶段的学习率调整策略，能够在训练初期平稳启动，在训练后期精细调节，从而获得更好的模型收敛效果。

QWCC 算法将整个训练过程分为四个阶段：

• 二次预热阶段：学习率从 开始以二次函数形式增长到最大值

• 恒定保持阶段：学习率保持在最大值不变

• 三次冷却阶段：学习率以三次函数形式从最大值降低到最小值

• 最终保持阶段：学习率保持在最小值不变

给定训练的超参数配置，需要计算指定训练步数的学习率值。

输入格式

输入为一行 JSON 格式字符串，包含以下参数：

• eta_max：最大学习率
• eta_min：最小学习率
• W：预热阶段步数
• H：恒定保持阶段步数
• C：冷却阶段步数
• T：总训练步数（满足 ）
• query：（可选）需要查询的训练步数列表

输出格式

输出一行 JSON 格式字符串，包含：

• lr：学习率数组，如果提供了 query 参数，则只输出对应步数的学习率；否则输出所有训练步的学习率

学习率计算公式：

对于第 步（从 开始）：

样例输入

{ "eta_max":0.1, "eta_min":0.001, "W":3, "H":2, "C":5, "T":12, "query":[1,3,5,10]}

样例输出

{ "lr": [0.011111, 0.1, 0.1, 0.001]}

样例	解释说明
样例1	查询步数[1,3,5,10]对应的学习率：步数1在预热阶段，步数3在预热阶段末尾，步数5在恒定阶段，步数10在最终保持阶段

数据范围

• 
• 
• 
• 
• 查询步数均为有效范围内的正整数

题解

这道题目要求实现一个分段函数来计算不同训练阶段的学习率。关键在于理解四个阶段的数学公式，并正确处理边界条件。

算法思路：

1. 阶段划分：根据步数 判断当前处于哪个训练阶段
2. 公式应用：为每个阶段应用对应的数学公式
3. 向量化计算：使用 NumPy 进行高效的向量化运算
4. 精度控制：确保输出结果保留6位小数

实现要点：

• 使用掩码（mask）技术同时处理多个步数
• 合理利用 NumPy 的广播机制避免循环
• 正确处理边界情况和步数转换（1-based 转 0-based）

时间复杂度： 或 空间复杂度： 或

这种向量化实现方式不仅代码简洁，而且能够充分利用 NumPy 的优化，在处理大量数据时表现出色。

参考代码

Python

import sys
import json
import numpy as np

def solve():
    # 读取JSON输入
    input_data = json.loads(sys.stdin.read().strip())
    
    # 提取参数
    eta_max = input_data["eta_max"]
    eta_min = input_data["eta_min"]
    w = input_data["W"]
    h = input_data["H"] 
    c = input_data["C"]
    t_total = input_data["T"]
    query_steps = input_data.get("query", None)
    
    # 确定需要计算的步数
    if query_steps is None:
        steps = np.arange(1, t_total + 1)
    else:
        steps = np.array(query_steps)
    
    # 初始化学习率数组
    lr_vals = np.zeros_like(steps, dtype=float)
    
    # 阶段1：二次预热 (1 <= t <= W)
    phase1_mask = steps <= w
    if np.any(phase1_mask):
        t_phase1 = steps[phase1_mask]
        lr_vals[phase1_mask] = eta_max * (t_phase1 / w) ** 2
    
    # 阶段2：恒定保持 (W < t <= W+H)
    phase2_mask = (steps > w) &