✅ 秋招备战指南 ✅

💡 学习建议：

• 先尝试独立解题
• 对照解析查漏补缺

🧸 题面描述背景等均已深度改编，做法和题目本质基本保持一致。

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题目一：图书馆座位分配问题

1️⃣：二分查找最大化最小值问题

2️⃣：通过数学推导验证分配方案的可行性

难度：中等

这道题目的关键在于理解"最大化最小值"的优化思想，通过二分查找和数学约束条件的分析，我们可以高效地找到最优解。核心是将问题转化为判定性问题：给定目标值，是否存在合法的分配方案。

题目二：魔法编码寻踪

1️⃣：利用BFS层层向下搜索所有可能的魔法编码

2️⃣：通过数学分析优化搜索范围，避免无效枚举

3️⃣：使用集合去重，确保每个编码只被处理一次

难度：中等

这道题目结合了数学分析和图搜索算法。关键观察是魔法编码的搜索范围有限，通过位数分析可以大大缩小搜索空间。BFS保证了按层次有序地发现所有相关编码。

题目三：星际联盟连接方案

1️⃣：利用数论中最大公约数的性质分析连通性

2️⃣：将图连通性问题转化为整除性问题

3️⃣：通过质因数分解计算因子个数

难度：中等偏难

这道题目巧妙地将图论问题转化为数论问题。关键洞察是：如果频率常数X能连通所有星球，则X必须整除所有能量差值的最大公约数。通过这个转化，复杂的图连通性判断变成了简单的因子计数问题。

01. 图书馆座位分配问题

问题描述

小兰是市图书馆的管理员，今天图书馆迎来了 位读者。为了提供良好的阅读环境，小兰准备了 个独立的阅读区域。图书馆提供两种类型的学习资料：文科类资料共有 本，理科类资料共有 本。

小兰需要将所有资料分配到这 个阅读区域中，但有以下限制条件：

• 每个阅读区域只能放置一种类型的资料，即文科类资料和理科类资料不能放在同一个区域
• 小兰希望让资料最少的区域拥有尽可能多的资料（即最大化最小值）

请帮助小兰计算，在满足上述条件下，资料最少的区域最多能分配到多少本资料？

输入格式

第一行包含三个正整数 ，分别表示阅读区域数量、文科类资料数量和理科类资料数量。

输出格式

输出一个整数，表示资料最少的区域能分配到的最大资料数量。

样例输入

5 7 3

3 100 200

样例输出

1

100

样例	解释说明
样例1	有5个区域，7本文科资料，3本理科资料。最优分配：3个区域各放2本文科资料（共6本），1个区域放1本文科资料，1个区域放3本理科资料。最少资料数为1本
样例2	有3个区域，100本文科资料，200本理科资料。最优分配：1个区域放100本文科资料，2个区域各放100本理科资料。最少资料数为100本

数据范围

• 
• 

题解

这道题的核心是要理解"最大化最小值"这个概念。假设我们要让每个区域至少分配到 本资料，那么问题就变成了：能否找到一种分配方案，使得这个目标能够实现？

关键观察：如果我们设定目标值为 ，那么文科区域的数量 必须满足一定的范围。具体来说：

• 文科区域需要的资料总数：，必须不超过 ，即
• 理科区域需要的资料总数：，必须不超过 ，即

因此，合法的文科区域数量 需要满足：

只要这个范围不为空（即左端点不大于右端点），就说明目标值 是可行的。

由于答案具有单调性（如果 可行，那么所有小于 的值也可行），我们可以用二分查找来找到最大的可行值。

时间复杂度：

参考代码

• Python

import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()

def solve():
    n, a, b = map(int, input().split())
    
    # 检查给定的最小值x是否可行
    def check(x):
        if x == 0:
            return True
        # 计算文科区域数量的合法范围
        min_s = max(0, n - b // x)  # 文科区域最少数量
        max_s = min(n, a // x)      # 文科区域最多数量
        return min_s <= max_s
    
    # 二分查找最大可行值
    left, right = 0, max(a, b)
    while left < right:
        mid = (left + right + 1) // 2
        if check(mid):
            left = mid
        else:
            right = mid - 1
    
    print(left)

solve()

• Cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    ll a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    
    // 检查给定的最小值x是否可行
    auto check = [&](ll x) -> bool {
        if (x == 0) return true;
        // 计算文科区域数量的合法范围
        ll min_s = max(0LL, (ll)n - b / x);  // 文科区域最少数量
        ll max_s = min((ll)n, a / x);        // 文科区域最多数量
        return min_s <= max_s;
    };
    
    // 二分查找最大可行值
    ll left = 0, right = max(a, b);
    while (left < right) {
        ll mid = (left + right + 1) / 2;
        if (check(mid)) {
            left = mid;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    
    cout << left << '\n';
    return 0;
}

• Java

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        
        int n = Integer.parseInt(st.nextToken());
        long a = Long.parseLong(st.nextToken());
        long b = Long.parseLong(st.nextToken());
        
        // 二分查找最大可行值
        long left = 0, right = Math.max(a, b);
        while (left < right) {
            long mid = (left + right + 1) / 2;
            if (check(n, a, b, mid)) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        
        System.out.println(left);
    }
    
    // 检查给定的最小值x是否可行
    private static boolean check(int n, long a, long b, long x) {
        if (x == 0) return true;
        // 计算文科区域数量的合法范围
        long minS = Math.max(0, n - b / x);  // 文科区域最少数量
        long maxS = Math.min(n, a / x);      // 文科区域最多数量
        return minS <= maxS;
    }
}

02. 魔法编码寻踪

问题描述

小毛是一位密码学家，他发现了一种神奇的编码规律。对于任意一个正整数 ，如果存在另一个正整数 ，使得 加上 的各位数字之和恰好等于 ，那么 就被称为 的"魔法编码"。

小毛想要进行一次深度探索：

• 首先，找到给定编码 的所有"魔法编码"，记为集合
• 然后，对集合 中的每个编码，继续寻找它们的"魔法编码"，记为集合
• 重复这个过程，直到无法找到更多的魔法编码为止

请帮助小毛找出所有通过这种方式能够追溯到的魔法编码，并按从小到大的顺序输出。注意：相同的编码只输出一次。

输入格式

第一行包含一个正整数 ，表示初始的编码。

输出格式

在一行中按从小到大的顺序输出所有找到的魔法编码，编码之间用空格分隔。如果没有找到任何魔法编码，则输出空行。

样例输入

21

100

样例输出

3 6 12 15

86

样例	解释说明
样例1	对于21：15(15+1+5=21✓)。 继续追溯：15的魔法编码有 12 (12 + 1 + 2 = 15 ✓) 继续追溯：12的魔法编码有 6 ( 6 + 6 = 12 ✓) 继续追溯：6的魔法编码有 3 (3 + 3 = 6) 对于3 没有可以追溯的魔法编码
样例2	对于100：直接魔法编码有86 剩余的没有别的编码了

数据范围

• 
• 保证输出的魔法编码总数不超过 个

题解

这道题的关键是理解"魔法编码"的定义和如何高效地寻找它们。

对于一个给定的编码 ，我们要找到所有满足 的正整数 。注意到：

1. 显然 （因为各位数字和至少为1）
2. 对于 位数，各位数字和最大为

因此，对于编码 ，我们只需要在区间 中枚举所有可能的 ，其中 是 的位数。

算法流程：

1. 使用BFS（广度优先搜索）来层层向下寻找魔法编码
2. 用集合记录已经访问过的编码，避免重复计算
3. 对于每个编码，在合理的范围内枚举可能的魔法编码
4. 将找到的新魔法编码加入队列继续搜索

时间复杂度：，其中 是计算各位数字和的时间

参考代码

• Python

import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()

def digit_sum(x):
    """计算x的各位数字之和"""
    total = 0
    while x > 0:
        total += x % 10
        x //= 10
    return total

def solve():
    n = int(input())
    
    visited = set()  # 记录已访问的编码
    result = []      # 存储所有魔法编码
    queue = [n]      # BFS队列
    
    visited.add(n)   # 初始编码不输出，但用于继续搜索
    
    while queue:
        current = queue.pop(0)
        digits = len(str(current))  # 当前编码的位数
        # 魔法编码的搜索范围
        start = max(1, current - 9 * digits)
        
        for x in range(start, current):
            if x + digit_sum(x) == current and x not in visited:
                visited.add(x)