✅ 春招备战指南 ✅

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• 先尝试独立解题（建议用时：90分钟/套）
• 对照解析查漏补缺

🧸 题面描述背景等均已深度改编，做法和题目本质基本保持一致。

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题目一：星际旅行计划

1️⃣：统计数组中值为1的元素数量

2️⃣：计算曼哈顿距离并判断奇偶性关系

难度：中等

这道题目的关键在于理解移动的特性，值为0的元素让我们原地不动，值为1的元素允许在四个方向上移动一步。通过数学分析，我们可以推导出一个O(n)的高效解法，无需模拟实际移动过程。

题目二：山脉平滑优化

1️⃣：计算初始陡峭度和差分数组

2️⃣：分析区间操作对边界点的影响

3️⃣：使用后缀最小值优化求解最优操作区间

难度：中等

这道题目需要理解区间加一操作如何影响整体陡峭度。通过分析，我们发现只有区间边界处的差值会发生变化，从而可以快速计算每个可能区间的影响，得到最优解。

题目三：双递增子序列划分问题

1️⃣：利用Dilworth定理将问题转化为不存在长度为3的不增子序列

2️⃣：预处理每个位置的左右不增边界

3️⃣：使用扫描线算法和树状数组高效处理多次查询

难度：中等偏难

这道题目结合了经典的序列分解理论和高效的数据结构。通过理论分析，将问题转化为判断是否存在特定模式，然后设计离线算法高效处理多次查询，时间复杂度为O((n+q)logn)。

01. 星际旅行计划

问题描述

小柯是一名星际探险家，她正在一个无限广阔的二维宇宙中规划航行路线。初始时，她的飞船位于坐标 。

她的飞船能量系统由 个能量单元组成，每个能量单元的值为 。当小柯使用第 个能量单元时，她必须选择两个整数 和 ，满足 ，然后飞船会移动到新的位置 。

小柯想知道，在使用完所有 个能量单元后，她是否能恰好到达目标坐标 ？

输入格式

第一行包含一个整数 ，表示测试用例的数量。

对于每个测试用例：

• 第一行包含一个整数 ，表示能量单元的数量。
• 第二行包含 个整数，第 个整数为 ，表示每个能量单元的值。
• 第三行包含四个整数 ，分别表示起始坐标和目标坐标。

数据保证单个测试文件中 。

输出格式

对于每个测试用例输出一行，如果小柯能够恰好到达目标坐标 ，则输出 "YES"，否则输出 "NO"。

样例输入

2
2
0 0
1 1 1 1
3 
1 1 1
1 1 2 2

样例输出

YES
NO

样例 解释说明

样例1	在这个例子中，小柯有两个值为0的能量单元。使用第一个能量单元，她可以选择 原地不动；使用第二个能量单元，仍选择 。最终她仍停留在初始位置 ，恰好是目标坐标。
样例2	小柯有三个值为1的能量单元。无论如何选择，她无法从 正好到达 。

数据范围

• 
• 
• 
• 
• 所有测试用例中 的总和不超过

题解

这道题目看似复杂，但实际上有一个很直观的解法。让我们分析一下：

首先，我们需要理解能量单元的使用方式。当 时，我们只能选择 和 ，即原地不动。当 时，我们有四种选择：、、 或 ，相当于在四个方向上移动一步。

所以，我们的移动能力受到两个因素限制：

1. 总共能移动多少步（由 的数量决定）
2. 每一步只能在四个正交方向上移动

从起点 到目标点 的最短曼哈顿距离是 。这意味着我们至少需要这么多步才能到达目标。

此外，每次移动都会改变奇偶性。考虑到这一点，能否到达目标还需满足一个条件：如果总移动步数减去最短距离后的剩余步数是奇数，那么我们永远无法到达目标。因为每多走两步才能回到同一个奇偶性的位置。

综合这两个条件，我们可以得出解题的关键判断：

• 设 为数组中值为1的元素数量（即可移动的步数）
• 设 , 为横纵坐标的距离
• 当且仅当 且 时，才能到达目标

时间复杂度：，我们只需要遍历一次数组来统计值为1的元素数量。 空间复杂度：，只需要常数额外空间。

参考代码

• Python

import sys
input = lambda:sys.stdin.readline().strip()

def solve():
    t = int(input())
    for _ in range(t):
        n = int(input())
        a = list(map(int, input().split()))
        x, y, p, q = map(int, input().split())
        
        # 统计可移动的步数
        ones = sum(1 for val in a if val == 1)
        
        # 计算目标距离
        dx = abs(p - x)
        dy = abs(q - y)
        
        # 判断是否可达
        if ones >= dx + dy and (ones - (dx + dy)) % 2 == 0:
            print("YES")
        else:
            print("NO")

if __name__ == "__main__":
    solve()

• Cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        
        ll ones = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a;
            cin >> a;
            ones += (a == 1);
        }
        
        ll x, y, p, q;
        cin >> x >> y >> p >> q;
        
        ll dx = abs(p - x);
        ll dy = abs(q - y);
        
        if (ones >= dx + dy && (ones - (dx + dy)) % 2 == 0)
            cout << "YES\n";
        else
            cout << "NO\n";
    }
    return 0;
}

• Java

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int t = Integer.parseInt(br.readLine().trim());
        
        while (t-- > 0) {
            int n = Integer.parseInt(br.readLine().trim());
            String[] vals = br.readLine().trim().split(" ");
            
            long ones = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (vals[i].equals("1")) ones++;
            }
            
            String[] coords = br.readLine().trim().split(" ");
            long x = Long.parseLong(coords[0]);
            long y = Long.parseLong(coords[1]);
            long p = Long.parseLong(coords[2]);
            long q = Long.parseLong(coords[3]);
            
            long dx = Math.abs(p - x);
            long dy = Math.abs(q - y);
            
            if (ones >= dx + dy && (ones - (dx + dy)) % 2 == 0)
                System.out.println("YES");
            else
                System.out.println("NO");
        }
    }
}

02. 山脉平滑优化

问题描述

小基 是一位地质学家，她正在研究一座山脉的高度数据。她定义了一个"陡峭度"的概念：相邻两个测量点高度之差的绝对值之和。

现在，小基 准备使用一种特殊的地形修整技术，可以最多对山脉的一个连续区段进行一次操作：选择一个区间，使得该区间内所有高度值增加 米。

小基 希望操作后山脉的陡峭度尽可能小，你能帮她找出最优的操作方案吗？

输入格式

第一行包含一个正整数 ，表示测试用例的数量。

对于每个测试用例：

• 第一行包含一个正整数 ，表示山脉测量点的数量。
• 第二行包含 个正整数 ，表示每个测量点的高度。

保证所有测试用例中 的总和不超过 。

输出格式

对于每个测试用例输出一行，包含一个整数，表示最小可能的陡峭度。

样例输入

2
5
1 4 2 3 4
3 
1 2 1

样例输出

5
1

样例 解释说明

样例1	选择 区间进行操作，山脉高度变为 。相邻点高度差绝对值为 $
样例2	选择 区间进行操作，山脉高度变为 。相邻点高度差绝对值为 $

数据范围

• 
• 
• 
• 所有测试用例中 的总和不超过

题解

这道题目的关键在于理解区间加一操作对整体陡峭度的影响。

首先，我们定义陡峭度 为相邻元素差的绝对值之和：

当我们对区间 内的所有元素加 时，只有区间的两个边界处的差值会发生变化：

• 左边界： 增加 ，影响 的值（如果 ）
• 右边界： 增加 ，影响 的值（如果 ）

为了方便计算这种影响，我们可以定义一个数组 ，其中 ，表示第 和第 个元素的差值。 初始陡峭度就是 。

当我们对区间 进行操作时：

• 左边界变化：（如果 ）
• 右边界变化：（如果 ）

总的变化量为 。我们需要找到使 最小的区间，最终陡峭度为 。

使用后缀最小值优化，我们可以高效地求出每个可能的左边界 对应的最佳右边界 ，从而找到全局最优解。

时间复杂度：，我们只需要遍历一次数组计算初始陡峭度，然后再遍历一次找出最优区间。 空间复杂度：，需要存储差值数组和后缀最小值数组。

参考代码

• Python

import sys
input = lambda:sys.stdin.readline().strip()

def solve():
    t = int(input())
    for _ in range(t):
        n = int(input())
        a = list(map(int, input().split()))
        
        # 计算初始陡峭度
        diff = [a[i+1] - a[i] for i in range(n-1)]
        s0 = sum(abs(d) for d in diff)
        
        # 计算左边界影响
        f = [0] * n
        for l in range(1, n):
            f[l] = abs(diff[l-1] + 1) - abs(diff[l-1])
        
        # 计算右边界影响
        g = [0] * n
        for r in range(n-1):
            g[r] = abs(diff[r] - 1) - abs(diff[r])
        g[n-1] = 0
        
        # 计算后缀最小值
        min_g = [0] * n
        min_g[n-1] = g[n-1]
        for i in range(n-2, -1, -1):
            min_g[i] = min(g[i], min_g[i+1])
        
        # 寻找最优区间
        min_delta = float('inf')
        for l in range(n):
            min_delta = min(min_delta, f[l] + min_g[l])
        
        print(s0 + min_delta)

if __name__ == "__main__":
    solve()

• Cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
#include <cmath>
using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        vector<ll> a(n);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            cin >> a[i];
        }
        
        // 计算初始陡峭度
        vector<ll> diff(n-1);
        ll s0 = 0;
        for (int i = 0; i < n-1; ++i) {
            diff[i] = a[i+1] - a[i];
            s0 += abs(diff[i]);
        }
        
        // 计算边界影响
        vector<ll> f(n), g(n);
        f[0] = 0;
        for (int l = 1; l < n; ++l) {
            f[l] = abs(diff[l-1] + 1) - abs(diff[l-1]);
        }
        
        g[n-1] = 0;
        for (int r = 0; r < n-1; ++r) {
            g[r] = abs(diff[r] - 1) - abs(diff[r]);
        }
        
        // 计算后缀最小值
        vector<ll> min_g(n);
        min_g[n-1] = g[n-1];
        for (int i = n-2; i >= 0; --i) {
            min_g[i] = min(g[i], min_g[i+1]);
        }
        
        // 寻找最优解
        ll min_d = LLONG_MAX;
        for (int l = 0; l < n; ++l) {
            min_d = min(min_d, f[l] + min_g[l]);
        }
        
        cout << s0 + min_d << "\n";
    }
    return 0;
}

• Java

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int t = Integer.parseInt(br.readLine().trim());
        
        w