算法：组合总和

引言

在算法的世界里，组合问题是一类常见且重要的问题。它们不仅考验着我们的逻辑思维能力，也要求我们掌握一定的算法技巧。今天，我们将一起探讨一个经典的组合问题——组合总和。这个问题要求我们在给定的候选数字集合中，找出所有和为目标值的唯一组合。

基本概念和作用说明

问题描述

给定一个无重复元素的整数数组 candidates 和一个目标整数 target，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的唯一组合，并以列表形式返回。这些组合可以按任意顺序返回。

示例

输入: candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出: [[2,2,3],[7]]

算法作用

组合总和问题不仅是一个纯粹的数学问题，它在现实世界中也有广泛的应用。例如，在购物车结算时，我们可能需要找出所有可能的商品组合，使得它们的总价等于某个特定金额。此外，在密码学、机器学习等领域，组合问题也经常出现。

算法详解

解决组合总和问题的常见方法是使用回溯法（Backtracking）。回溯法是一种通过探索所有可能的候选解来找出所有解的算法。如果候选解被确认不是一个解（或者至少不是最后一个解），回溯算法会通过在上一步进行一些更改来丢弃该解，即“回溯”并尝试其他可能的解。

伪代码

function combinationSum(candidates, target) {
    result = []
    current_combination = []
    dfs(candidates, target, 0, current_combination, result)
    return result
}

function dfs(candidates, target, start, current_combination, result) {
    if (target < 0) return // 当前组合和超过目标值，回溯
    if (target == 0) {
        result.append(current_combination) // 当前组合和等于目标值，加入结果集
        return
    }
    for (i = start; i < candidates.length; i++) {
        current_combination.append(candidates[i]) // 选择当前数字
        dfs(candidates, target - candidates[i], i, current_combination, result) // 递归调用，目标值减去当前数字
        current_combination.pop() // 回溯，撤销选择
    }
}

代码实现（JavaScript）

function combinationSum(candidates, target) {
    const result = [];
    const currentCombination = [];
    
    function dfs(start, sumLeft) {
        if (sumLeft === 0) {
            // 找到一个符合条件的组合，加入结果集
            result.push(currentCombination.slice()); // 使用slice()避免直接修改原数组
            return;
        }

        for (let i = start; i < candidates.length; i++) {
            const num = candidates[i];
            if (sumLeft - num < 0) {
                // 如果当前数字加入后导致和小于0，则不需要继续搜索
                continue;
            }

            currentCombination.push(num); // 选择当前数字
            dfs(i, sumLeft - num); // 递归调用，目标值减去当前数字
            currentCombination.pop(); // 回溯，撤销选择
        }
    }

    // 数组需要从小到大排序，保证解的唯一性
    candidates.sort((a, b) => a - b);
    dfs(0, target);

    return result;
}

// 示例
const candidates = [2, 3, 6, 7];
const target = 7;
console.log(combinationSum(candidates, target));
// 输出: [[2, 2, 3], [7]]

注意事项

数组 candidates 需要从小到大排序，以保证解的唯一性。如果不排序，可能会出现重复的组合。
在 dfs 函数中，我们使用了 start 参数来避免产生重复的组合。在每次递归调用时，我们从 start 开始遍历数组，而不是从 0 开始。这样可以确保我们不会选择到已经使用过的数字（对于当前层级而言）。
使用了 currentCombination.slice() 来避免直接修改原数组。这是因为在 JavaScript 中，数组是引用类型，直接赋值会导致后续的回溯操作影响到已经加入结果集的组合。