题解 | #Spirit Circle Observation#

Spirit Circle Observation

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33186/B

B Spirit Circle Observation 接着_wfx大佬提出的第一个做法讲讲我个人赛时的做法。这个做法被构造数据卡掉,主要问题是如果每次不停地走9和0可能会被卡到 O(n)O(n)。我在赛时没有考虑去证明这个暴力是否存在一个比 O(n2)O(n^2) 低的上界,而是在想这样一件事:如果某一次我暴力走走了很多步,那就意味着存在一段很长的形如9999999999...的子段.规定一个阈值B,在SAM上只能走B步,这样可以把所有后缀9的个数小于等于B的字符串对的贡献都统计到。对于后缀9的个数多于B的,与官方题解中的关键点定义相近,只是规定后缀9的个数大于B才能成为关键点。可以发现这时关键点个数不超过 O(nB)O(\frac{n}{B}),暴力枚举关键点点对,每个点对求出两个前缀的最长公共后缀x,对于答案的贡献就是x*(min(后缀9的个数,后缀0的个数)-B)。两个前缀的最长公共后缀对应到SAM上就是前缀在parent树上定位后lca节点的len。 总复杂度:

O(Σ(nB+n2B2logn)) O(|\Sigma|(nB+\frac{n^2}{B^2}\log n))

令前后相等:

B=nlogn3O(Σnnlogn3) B=\sqrt[3]{n \log n} \\ 复杂度: O(|\Sigma|n\sqrt[3]{n \log n})

而官方的标准做法是考虑对于所有长度,关键点个数不超过n,因为一个9或者0只可能对关键点个数创造1的贡献,其他数字也是如此。 枚举长度,我们需要求每对关键点的两个前缀的最长公共后缀。还是转化成lca的len,在lca处统计所有儿子的子树中两类关键点的数量,算出以该节点为lca的关键点对数。把每种长度对应的关键点放在SAM的parent树上做个虚树就行,复杂度 O(Σn)O(|\Sigma|n)

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