5G NR LDPC基础讲解信号通过高斯白噪声信道的传输流程

写在前面：

从本小节开始，正式讲解LDPC在5G NR中的应用，最近的半年学习5G NR LDPC相关规范，感触最深刻的是学习起来很不系统，而且学习起来比较困难，想学习的很系统需要整理相当多的资料，很耗精力，基于此，打算把5G NR LDPC系统的讲解一遍，但在讲解LDPC之前，会介绍很多基础知识，为后面的讲解做铺垫，希望对大家有帮助。

1. 信号在高斯信道的传输

（1）连续时间信号，如下图所示：

信息a：输入调制器的二进制码流。

信息a1：接收端接收的信息（经过判决后输出的二进制码流）

s(t)：调制后输入信道的波形。

n(t)：高斯白噪声。

r(t)=s(t)+n(t)：经过高斯信道后的信号。

r：经过滤波器的信号。

（2）离散时间信号，如下图所示：

s：经过数字调制器的调制符号。

r=n+s：

Demapper（解映射器）：解调出调制的信号。

2. 调制机制

5G NR主要采用BPSK、QPSK、64QAM、256、1024QAM调制方式，为了讲解方便，调制方式采用BPSK，下面讲解BPSK调制的原理（QAM调制后面补充）：

a：输入待编码的bit。

BPSK mapper：符号的映射：0——+1 1——-1

Decision Device：接收到的信号和+1近还是和-1近，进行判决。

BPSK Demapper：+1——0 -1——1

3. BER(Bit - Error Rate，误码率) and SNR(Signal - to - Noise Ratio，信噪比)

误码率：我们传输1000个bit，有1个错误，误码率为1/1000。

信噪比=信号的能量/噪声的能量

用dB表示信噪比的方法：

4. SNR在连续和离散系统中的计算

假设连续时间高斯信道：

signal power=P；Noise PSD(噪声功率谱密度)= （单边普的密度为 ，双边谱密度为 ）；Bandwidth=2W

可以推出：

Noise power=Noise PSD×Bandwidth=

SNR=

每个符号持续的时间：1/2W

假设离散时间高斯信道：

每个符号的能量：

噪声方差：

SNR：

5. 计算BPSK的BER和SNR

信道的高斯噪声：

所以：

我们知道信道的噪声服从高斯分布，下图：

现在我们需要了解在什么情况下，我们译码得不到正确的结果：因为BPSK的映射方式为0——+1 1——-1，所以，当我们附加的信道噪声在（-1,+1），都可以译码出正确的结果，误码率的计算公式可以表示为：

在一串二进制码流中，+1和-1的数值随机出现，所以 :

假设Q函数：

对照 分布函数：

得出BER：

（因为 ）

上面讲解了计算BPSK调制的BER和SNR的计算方法，但是可以看到，我们译码如果出现错误是无法纠错的，所以需要一种纠错码（堪称ECC——Error-Correction Coding，通过加冗余的方式来进行纠错，降低误码率），因此我们需要采用一种纠错码先编码，再调制，来达到纠错的目的。

1. 相关参数说明

编码后每个bit信息的能量（能量一定需要增加，因为编码之后的信息增加了冗余，相当于多个bit只代表一个bit的信息）：

（码率=待编码的bit数/编码后的bit数）

所以可以推出

由4可以得出：

所以可以推出：

所以对于BPSK调制来讲，

所以可以得出新的BER的计算公式：

下图展示未经过编码的BPSK调制，纵坐标是BER(在对数域)，横坐标是 （在对数域且为dB形式—— ，用来衡量信噪比的，因为 ），函数为

注：我们在设计信道传输过程时，一般会给出在dB下的 ，所以要做一定的转换， （上面有说明互相转换的公式），求右边的 ，可以得出

2.未编码仿真

EbNodB = 5;
R = 1; %uncoded1BPSK (1 bit/symbol) 
EbNo = 10^(EbNodB/10) ;
sigma = sqrt(1/ (2*R*EbNo)) ; 
BER_th = 0.5*erfc(sqrt (EbNo)) ;

N = 1000; %number of bits of message per block 
Nerrs = 0; Nblocks = 10000;
for i = 1: Nblocks
	msg = randi([0 1],1,N); %generate random message 	
    
    s = 1 - 2 * msg; %BPSK bit to symbol conversion 	
    r = s + sigma * randn(1,N); %AWGN channel
	
    msg_cap = (r < 0); %threshold at zero 
    
	Nerrs = Nerrs + sum(msg ~= msg_cap);      
end

BER_sim = Nerrs/N/Nblocks; 

disp([EbNodB BER_th BER_sim Nerrs N*Nblocks])

3. (3,1)重复码介绍

编码规则：

if m=0, c=000, s=[+1, +1, +1]

if m=1, c=111, s=[-1, -1, -1]

Hard Decision：

if ri>0, bi=0

if ri<0, bi=1

(3,1)重复码的相关参数：

• 码率：1/3
• 
  
• bi可能出现错误的概率：
• 输出c1的误码率：
• 译码方法：
  • 
    
  • 
    
  • 
    
  • c1=000 else c1=111

4. (3,1)重复码仿真

EbNodB = 6;
R = 1/3; %n=3 repetition (1/3 bits/symbol)
EbNo = 10^(EbNodB/10);
sigma = sqrt(1/(2*R*EbNo)); 

k = 1; %number of message bits 
n = 3; %number of codeword bits

Nerrs = 0; Nblocks = 100000;
for i = 1: Nblocks
   	msg = randi([0 1],1,k); %generate random k-bit message 
	%Encoding
    cword = [msg msg msg]; 
    
	s = 1 - 2 * cword; %BPSK bit to symbol conversion 
    r = s + sigma * randn(1,n); %AWGN channel

    %Hard-decision decoding
	b = (r < 0); %threshold at zero 
    if sum(b) > 1
        msg_cap1 = 1; 
    else
        msg_cap1 = 0; 
    end

	%Soft-decision decoding
    if sum(r) < 0
    	msg_cap2 = 1; 
    else
    	msg_cap2 = 0; 
    end

    Nerrs = Nerrs + sum(msg ~= msg_cap2);
end

BER_sim = Nerrs/k/Nblocks; 
disp( [EbNodB BER_sim Nerrs k*Nblocks] )