【每日一题】7月23日题目精讲—wpy的请求

题号 NC20684
名称 wpy的请求
来源 牛客OI周赛5-提高组
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题解

首先，给所有的边加上都同一个值把最小的数都变成正的肯定不行，——原来不是最短的路径如果经过的边数小于最短路径，就有可能超过最短路径成为新的最小，如图：
如果要保证所有的最短路方案都不变我们考虑使得新的最短只与旧最短路以及起点终点有关，与其他的值都无关。那么，我们假设A到C的最短路是A->B->C，A->B的新最短路有关的三个变量为XA,X[B],dist[A]B，B->C的新的最短路有关的三个变量为X[B],X[C],dist[B][C]，A->C的新的最短路有关的三个变量为X[A],X[C],dist[A][C]，其中dist[A][C]=dist[A][B]+dis[A][C]，所以我们只需要在从A-B的新最短路加上B->C新最短路得到A->C的新最短路时把X[B]消掉就好了——只要A->B和B->C中的X[B]一正一负就能做到，所以我们让A->B的新距离为X[A]-X[B]+dist[A][B]即可。
那么问题就变成了：X[i]设为什么才能保证所有边的新权值是非负的？
观察：X[A]-X[B]+dist[A][B]>=0，移项（想到移项的原因是希望把所有值前的符号都变成正）X[A]+dist[A][B]>=X[B]，这个是最短路松弛操作的结果啊（如果A到B的最短路加上起点到A的最短路小于起点到B目前的最短路就会更新到B的最短路，更新不动了最终的结果肯定满足大于等于了）。于是我们只要给每个点求个最短路就行，为了保证每个点都有有效的最短路值，建一个超级源，从超级源向每个点连一条长度为0的边，然后从超级源跑最短路即可。

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