《统计学习方法》-02感知机

# 感知机

感知机这个模型,其实很早就提出了,然而限于当时的技术条件(主要是计算机的计算能力),再加上某个人证明感知机无法解决逻辑运算问题,所以很多人都放弃了。但是,如今的所谓的神经网络,其实就是多层感知机……

事实上,一个感知机能做的事的确太有限,但是众多的感知机连接成网状,对不起,几乎什么函数都可以拟合了。

## 感知机模型

感知器要解决的问题是二分类(很简单),对于输入的实例,感知机要给出其正确的分类,而总的分类只有两个,正例和负例。

数学上来说,输入空间是$X\subseteq \bf{R}^n$,输出空间为$Y=\{+1,-1\}$。输入$x\in X$表示实例的特征向量,输出$y\in Y$表示实例的类别。这样的一个函数:
$$
f(x)={ \rm sign} (wx+b)
$$
这里的$\rm sign$函数是符号函数。

从解析的角度来说,感知机作为一个函数,以实例为自变量产生一个+1或者-1的结果,从而实现分类。

从几何上来理解,感知机就是输入空间中的一个超平面,之所以是“超”,因为输入空间常常是高维的。这个超平面把整个空间一分为二,从而对空间中的点(实例)进行分类。

由解析几何,超平面的方程是:
$$
wx+b=0
$$
这里,$w$是平面法向量,$b$是截距。

对于超平面上方的点,有:
$$
wx+b>0
$$
而对于超平面下方的点,有:
$$
wx+b<0
$$

## 感知机学习策略

我们需要一个损失函数来度量模型的好坏,或许可以使用误分类点的总数来作为损失函数,当损失函数值为零时,所有的点就都被正确分类了,但是,这个函数很显然不是关于$w,b$的可导函数,那么也就没办法用梯度下降函数来找到它的最小值了。

我们选择另外一种方式来定义损失函数。

我们选择从误分类点到超平面的总距离来度量。

在输入空间中,任何一点$x_0$到超平面的距离是:
$$
\frac{1}{||w||}|wx_0 +b|
$$
$||w||$就是向量$w$的模(或者叫长度、$L_2$范数)。对于误分类的点$(x_i,y_i)$来说:
$$
-y_i (wx_i +b)>0
$$
所以我们可以去掉距离表达式中的绝对值:
$$
-\frac{1}{||w||}y_i(wx_i+b)
$$
作为一个方向向量,$||w||$可以直接丢掉,我们得到损失函数的表达式:
$$
L(w,b)=-\sum_{x_i\in M}y_i(wx_i+b)
$$
其中$M$为误分类点的集合。

$L(w,b)$是关于$w,b$的连续可导函数,于是就可以使用梯度下降了。

##感知机学习算法

损失函数的梯度:
$$
\nabla_wL(w,b)=-\sum_{x_i\in M}y_ix_i\\
\nabla_bL(w,b)=-\sum_{x_i\in M}y_i
$$
那么,我们就得到一个可以直接写在代码中的赋值表达式,通过这个表达式来更新$w,b$的值,从而找到正确的分类超平面:
$$
w\leftarrow w+\eta y_ix_i\\
b\leftarrow b+\eta y_i
$$

$\eta$是学习率,用来调节梯度下降的步长。

最后,给出算法的描述:

>1. 选取初始值$w_0,b_0$
>
>2. 在训练集中选取数据$(x_i,y_i)$
>
>3. 如果$y_i(wx_i+b)\leq 0$
>   $$
>   w\leftarrow w+\eta y_ix_i\\
>   b\leftarrow b+\eta y_i
>   $$
>
>4. 转至第二步,循环直至训练集中没有误分类点

#笔记#
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