力扣:不同路径 (秒懂的动态规划)

题目描述


一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。
问总共有多少条不同的路径?
图片说明
输入1: m = 3 , n = 2
输出1:3
解释:从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。
1: 向右 -> 向右 -> 向下
2: 向右 -> 向下 -> 向右
3: 向下 -> 向右 -> 向右
输入2:m = 7 , n = 2
输出2:28
来源:力扣 -- 不同路径


方案一 :动态规划


1、 确定状态方程
我们使用一个二维数组 dp 来存储答案,dp[i][j]的值是从起始点(也就是(0,0))走到(i, j)的路径数。
2、 确定状态转移方程
上面也说到,dp[i][j]的值就是从起始点(也就是(0,0))走到(i, j)的路径数,那么如何求出这个值,我们就需要确定状态转移方程,我们思考一下,假设我们全都知道dp[i][j]的值,题目中说到,小机器人只能往右或者往下,那么dp[i][j]的值就是第 i 行第 j 列这个格子的上面那个格 子的值加上左边那个格子的值,也就是dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] ,因为这两个格子都可以走到dp[i][j]这个格子,那么他们的路径数之和就是dp[i][j]的值。
3、 确定边界条件
上面说到状态转移方程是dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1],那么当 i == 0 或者 j == 0 的时候会越界,而我们想一下,当 i == 0 或者 j == 0 的时候无外乎就是最上一行或者最左一列,我们在最上一行的路径数只能是一条(因为只能一直往左走),所以 dp[0][j]的值全为 1,同理最左一列的值也是1(因为只能一直往下走),其余的值按照状态转移方程就可以填满了,最后返回最右下角的值(dp[n-1][m-1])就可以了。

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[][] grid = new int[n][m];
    for(int i = 0;i < n;i ++){
        for(int j = 0;j < m;j ++){
            if(i == 0 || j == 0) grid[i][j] = 1;
            else grid[i][j] = grid[i][j - 1] + grid[i - 1][j];
        }
    }
    return grid[n - 1][m - 1];
}

方案二 : 排列组合


我们要想到达终点,需要往下走n-1步,往右走m-1步,总共需要走n+m-2步。他无论往右走还是往下走他的总的步数是不会变的。
也就相当于总共要走n+m-2步,往右走m-1步总共有多少种走法,很明显这就是一个排列组合问题,公式如下
图片说明
本题中需要求解的是
图片说明

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int N = n + m - 2;
    double res = 1;
    for (int i = 1; i < m; i++)
        res = res * (N - (m - 1) + i) / i;
    return (int) res;
}

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升级版:在路径中添加障碍物 -> 力扣:不同路径II
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