一、题目描述

给定一个包含非负整数的 m * n网格grid，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

二、解题思路

该题为典型的动态规划问题。分三个步骤来解决问题

1. 定义数组元素的含义

这里我们可以定义一个二维数组dp[][]，dp[i][j]用来表示当终点坐标为$(i+1,j+1)$时，我们希冀的答案，也就是到达这个坐标的最短路径。

2. 找出关系数组元素之间的迭代关系式

比如我们现在要考虑得到这个X是多少，由于路径只能是向右或者向下，那么我们到达X的方式有两种

• 从2向右走一步到达X
• 从4向下走一步到达X

上一步我们说到，dp[i][j]用来表示当终点坐标为$(i+1,j+1)$时，我们要求的最短路径。那么到达X所需要路径长度就有两个结果：

• 从2向右到达：2 + X点的值，为7
• 从4向下到达：4+ X点的值，为9

这俩结果选哪个呢，显然选择小的，也就是7。

3. 定义边界条件

初始值是很重要的，决定了后续的步骤能否得到正确的结果，初始值是什么呢？也就是下图所示有彩虹色的部分：

4. 得到dp矩阵

显然，二维dp数组的右下角那个元素就是我们要求的题解

整理一下代码

class Solution {
   
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
   
    	/*数据不对直接跑路*/
        auto m = grid.size();
        auto n = grid[0].size();
        if(m <= 0 || n <= 0)    return 0;
        int dp[m][n];
        /*定义彩虹色部分的初始值（第1列）*/
        long sum = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++){
   
            dp[i][0] = sum + grid[i][0];
            sum += grid[i][0];
        }
        /*定义彩虹色部分的初始值（第1行）*/
        sum = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
   
            dp[0][i] = sum + grid[0][i];
            sum += grid[0][i];
        }
        /*计算*/
        for(int i = 1; i < m; i++)
            for(int j = 1; j < n; j++)
                dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

运行结果

也不知道为啥$O(m\ast n)$空间复杂度还可以内存100%