完全平方数 [质数相关计数问题]

感谢 JR, YR 赞助

$Solution$Solution

假设 最大完全平方数 为 $x^2$x2, $p$p 为 质数,

$x^2=(p_1^{a_1/2}\ast p_2^{a_2/2}..\ast p_n^{a_n/2}{)}^2$x2=(p1a1​/2​∗p2a2​/2​..∗pnan​/2​)2

右式括号中的乘积 即 $[1,N]$[1,N] 中若干数字的乘积,

相当于将 $[1,N]$[1,N] 中若干数字分解质因数, 再 相乘,

此时要以 指数 $a_n\%2==0$an​%2==0为前提, 来保证 答案最大

于是将 合数的所有质因子 相乘得到 $p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}..\ast p_n^{a_n}$p1a1​​∗p2a2​​..∗pnan​​
若其中存在 $a_i\%2==1$ai​%2==1, 使用对应 质数 去乘它 保证 $a_n\%2==0$an​%2==0 即可.

$Code$Code

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const int maxn = 5000005;
const int mod =100000007; 

int N;
int cnt;
int Pre[maxn];
int prm[maxn];
int Cnt[maxn];

bool Used[maxn];

int KSM(int a, int b){
        int s = 1;
        while(b){
                if(b & 1) s = 1ll*s*a % mod;
                a = 1ll*a*a % mod;
                b >>= 1;
        }
        return s;
}

int main(){
        scanf("%d", &N);
        for(reg int i = 2; i <= N; i ++){
                if(!Used[i]) prm[++ cnt] = i;
                for(reg int j = 1; j <= cnt && prm[j]*i <= N; j ++){
                        Pre[prm[j]*i] = i, Used[prm[j]*i] = 1;
                        if(i % prm[j] == 0) break ;
                }
        }
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) Cnt[i] = 1;
        for(reg int i = N; i >= 1; i --){
                if(!Used[i]) continue ;
                Cnt[Pre[i]] += Cnt[i];
                Cnt[i/Pre[i]] += Cnt[i], Cnt[i] = 0;
        }
        int Ans = 1;
        for(reg int i = 1; i <= cnt; i ++)
                Ans = 1ll*Ans*KSM(prm[i], Cnt[prm[i]]>>1) % mod;
        printf("%d\n", (int)(1ll*Ans*Ans%mod));
        return 0;
}